3.1.3. Статистические методы

Статистические методы широко применяются для выявления свя­зей между различными показателями, факторами, признаками и для оценки тесноты связи между ними по результатам наблюдений, спе­циально поставленных опытов, по отчетным и вообще по любым ста­тистическим данным.

Наиболее отработанным статистическим методом изучения зави­симостей является корреляционный или регрессионный анализ. Часто эти методы объединяют и называют корреляционным анализом. Срав­нение определения регрессии с определением корреляции показыва­ет, что это, в сущности, одно и то же. Однако, если задачей кор­реляционного анализа является получение и исследование числовых характеристик зависимости и прежде всего линейных коэффициентов корреляции, то задачей регрессионного анализа является получение и исследование функций, описывающих эту зависимость.

Регрессионный анализ - это статистический прием для оценки взаимосвязей между одним фактором, так называемой зависимой пе­ременной, и одним или несколькими независимыми переменными в форме уравнения. Кроме того. при помощи анализа можно оценить степень взаимосвязи между зависимой переменной и каждой из неза­висимых переменных (или любой комбинации их). Степень, взаимосвя­зи между одной переменной и одной или более другими переменными оценивается показателями степени тесноты корреляционной связи.

При практическом проведении регрессивного анализа по наблю­дениям объема продаж и факторов, оказывающих на него, влияние может быть получена не истинная величина их взаимосвязи, а лишь ее оценка. Эта оценка будет тем точнее и надежнее, чем больше у аналитика будет объем выборки - число полученных значений каждо­го из факторов и объема продаж. При этом, чем больше факторов учитывается, тем больше должен быть объем выборки. Минимально допустимый объем выборки, при котором оценка взаимосвязи может быть использована для практических выводов, определяется уравнением П_m1n = (6÷8) ^. N, где N - число учитываемых факторов.

Различают простой и множественный регрессионные анализы. Простой или парный регрессионный анализ предусматривает, что только одна независимая переменная включена в уравнение регрес­сии. Такой анализ состоит из трех этапов:

1) разработка регрессионной модели, отражающей общее содер­жание изучаемой взаимосвязи:

2) приложение модели к данному набору данных:

3) оценка результатов.

Регрессионная модель - это уравнение (или система уравне­ний), показывающее, какие факторы, по мнению аналитика, должны быть вовлечены во взаимосвязь, которая подвергается анализу. Оно также дает представление о форме связи или вида кривой (прямая, гипербола, парабола или любая другая аналитическая зависимость).

При определении формы уравнения регрессии представляется весьма полезным построение графика или диаграммы разброса значе­ний переменных. График позволяет еще раз убедиться, что с увели­чением цены объем продаж действительно имеет тенденцию к сниже­нию. В большинстве случаев диаграмма может не давать ясного представления о форме взаимосвязи. В этом случае выбор необходи­мого вида уравнения регрессии зависит от значения проблемы, рас­суждении и везения;

Большинство аналитиков в качестве основы регрессионного анали­за используют простое линейное уравнение, которое можно предста­вить следующим образом:

Q = a – б ^. Ц, (1)

где Q - объем продаж, ед;

Ц - изменяющаяся рыночная цена продукта, руб/ед;

а - постоянная величина;

б - коэффициент регрессии, показывающий, на сколько единиц из­менится среднее значение объема продаж фирмы Q при изменении це­ны на один рубль.

Поскольку уравнение линейной связи между ценой и объемом продаж носит обратный характер, то коэффициент б имеет отрица­тельное значение.

Линейные уравнения используются в регрессионном анализе по двум причинам. Во-первых, расчеты, необходимые для приложения модели к данному набору данных, в случае линейного уравнения намного упрощаются, равно как и в случае применения уравнений, легко трансформируемых в линейные. Во-вторых, линейные уравнения концептуально представляют собой простейший тип зависимости меж­ду переменными. Однако в практике управления вторым положением необходимо руководствоваться с большой осторожностью.

Приложение модели к имеющимся данным. Обычно данные предс­тавляют собой "исторические" сведения, т.е. цифры, показывающие значение каждого из факторов в каждом из предшествующих периодов времени или географических районов.

Цели приложения:

1. Получение оценок коэффициентов уравнения регрессии (а и б в нашем примере).

2. Определение степени соответствия модели действительным изменениям результативного фактора.

Оценку коэффициентов уравнения можно проводить различными способами, но наиболее универсальным является метод наименьших квадратов (МНК). Оценки по МНК - это те величины, которые мини­мизируют сумму квадратов отклонений действительных наблюдаемых значений факторов от их значений, полученных из уравнения рег­рессии. Например, в случае анализа объема продаж как функции от различия в цене имеется серия оценок действительного объема про­даж по месяцам и данные, полученные с помощью уравнения регрес­сии.

Оценка по МНК в данном случае имеет вид:

S(Q_t - Q_t^’ )² ® min, (2)

где Q_t и Q_t^’ - объем продаж фактический в период времени t и объем продаж, рассчитанный по уравнению регрессии для этого периода.

Модель ИНК позволяет минимизировать дисперсию оценок и, следовательно, минимизировать степень неопределенности, связан­ную с оценками.

Дисперсия фактических значений объема продаж от вычисленных по уравнению (б²) определяется по формуле:

_N

б² = 1 / N S (Q_i - Q _i^’ )², (3)

^{i = 1}

где N - количество значений;

Q_i и Q_i^’ - фактическое значение объема продаж (зависимой переменной) и значение, вычисленное по уравнению регрессии.

Расчет коэффициентов регрессии, удовлетворяющих критерию МНК, производится при помощи компьютера по специальным програм­мам.

Оценка результатов. На "выходе" простого регрессионного анализа могут быть получены следующие результаты:

1. Оценки коэффициентов уравнения регрессии.

2. Стандартные ошибки коэффициентов.

3. Коэффициент корреляции и коэффициент детерминации, пока­зывающие степень, с которой факторы, включенные в уравнение рег­рессии, объясняют вариацию результативного признака.

4. Стандартные ошибки (стандартное отклонение) оценок неза­висимых переменных, полученных при помощи уравнения регрессии.

Применительно к анализу объема продаж как функции от разли­чия в цене, результаты могут толковаться следующим образом:

1. Свободный член а представляет собой наилучшую оценку объема продаж при условии, что не существует никаких различий между ценой фирмы и ценой конкурентов. Однако такое "толкование не всегда возможно, так как результат может представлять собой лишь оценку влияния факторов, не включенных в анализ.

2. Коэффициент б представляет собой коэффициент чувстви­тельности цен и отражает ожидаемое изменение объема продаж при изменении цены.

3. Коэффициент детерминации (г²) - это мера степени вариа­ции в объеме продаж, которая объясняется вариацией в различии цен.

Дисперсия результативного фактора (общая дисперсия) - мак­симум, который можно объяснить влиянием независимых факторов. Если бы можно было изучить влияние всех независимых факторов, то значение результативного фактора можно было бы вычислить абсо­лютно точно. Однако в большинстве случаев регрессионный анализ объясняет только часть общей дисперсии. Таким образом,

Общая Дисперсия, объяс- Необъясняемая

дисперсия = няемая регрессион- + дисперсия

ным анализом

Коэффициент детерминации (г²) - это отношение объясняемой дисперсии к общей. Чем ближе оно по своему значению к 1, тем в большей степени уравнение регрессии объясняет изучаемый фактор.

Высокий уровень г² не доказывает, что уравнение регрессии верно, и наоборот, низкий уровень не говорит о том, что взаимос­вязи между факторами не существует. Это может быть лишь резуль­татом неправильно составленного уравнения регрессии.

Таким образом, коэффициент детерминации свидетельствует, некоторым образом, о степени взаимосвязи между двумя факторами. В нашем примере значение г² показывает процент вариации объема продаж, объясняемый фактором различия цен. Если он незначителен, можно предположить, что другие факторы влияют на изменение доли рынка в большей степени.

В этом случае простая модель, основанная на одной независи­мой переменной, является недостаточной и должен быть проведен более расширенный анализ.

Модели множественного регрессионного анализа. Как уже ука­зывалось, на объем продаж, кроме цены, влияют неценовые факто­ры. Поэтому в большинстве случаев необходимо пользоваться мо­делью множественного регрессионного анализа (МРА).

Концепция и методы, используемые в МРА практически те же, что и в простом регрессионном анализе, но с некоторыми модифика­циями и дополнениями, связанными с изучением нескольких факторов одновременно.

Составление модели МРА связано с дополнительными трудностя­ми. Прежде всего, не представляется возможным исследовать взаи­мосвязи между, например, пятью факторами при помощи диаграммы разброса. Конечно же, диаграмму можно использовать для отражения взаимосвязи между результативным фактором и каждым из независи­мых факторов по очереди. Но это будет не совсем верно, посколь­ку независимые переменные зачастую влияют друг на друга так же как и на результативный фактор. Следовательно, модель множест­венной регрессии должна отражать общие воздействия двух или бо­лее независимых переменных.

Допустим, в нашем примере существует предположение, что кроме разницы цен на величину объема продаж влияют также затраты на рекламу, доход потребителя, цена продукта у конкурентов.

В результате уравнение МРА примет вид:

Q = K ^. Ц_ф^{а .} Ц_к^{б .} ЗР_ф^{с .} ДП^d , (4)

где Q - объем продаж;

К – константа;

Ц_ф - цена продукции фирмы;

Ц_к - средняя цена конкурентов;

ЗР_ф, - затраты фирмы на рекламу;

ДП - доход потребителя;

а,б,с,d - коэффициенты, которые необходимо рассчитать.

Уравнение показательной функции, используемое для решения данной проблемы, является хорошим примером нелинейного уравне­ния, которое для упрощения вычисления может быть трансформирова­но в линейную форму:

Log(Q) = Log(К) + а ^. Log(Ц_ф) + б ^. Log(Ц_к) + с ^. Log(ЗР_ф,)+ d ^. Log(ДП). (5)

Оценка результатов МРА. На выходе МРА могут быть получены следующие результаты:

1. Значения коэффициентов регрессии для каждой независимой переменной.

2. Стандартная ошибка каждого из этих коэффициентов.

3. Множественный коэффициент детерминации (R²), который от­ражает степень совместного влияния всех факторов на вариацию ре­зультативного фактора.

4. Ряд коэффициентов частной детерминации (г²), которые от­ражают степень взаимосвязи между результативным фактором и дан­ным независимым фактором.

Толкование результатов происходит тем же образом, что и в простом (парном) регрессионном анализе.

Принципиальная трудность заключается в толковании относи­тельной важности некоторых независимых факторов.

Коэффициенты регрессии. Коэффициент при каждой переменной отражает процентные изменения в объеме продаж, которые можно ожидать при изменении независимой переменной на 1%, при условии, что в остальных независимых переменных изменения не происходят. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии можно использовать для определения их доверительных интервалов.

Множественные коэффициенты детерминации. R² изменяется от О до 1. Чем больше значение R², тем большая часть общей вариации объема продаж объясняется факторами, включенными в данную мо­дель. В нашем примере, если R² равно, например, 0,92, то это свидетельствует о том, что факторы, включенные в уравнение, действительно являются основными факторами, влияющими на объем продаж. Однако может случиться так, что факторы, включенные в модель, будут лишь отражать влияние других, более глубинных фак­торов. Например, количество потребителей может на самом деле быть более важным фактором, чем сама величина доходов.

Сравнение независимых факторов. Зачастую одной из целей МРА является определение относительной важности различных независи­мых факторов.

Однако нельзя говорить, например, что величина дохода в два раза важнее, чем затраты на рекламу, если r_дп² – 2r_зп². Прямые сравнения подобного рода недопустимы по двум причинам:

значение коэффициента регрессии зависит от единиц, в кото­рых выражен фактор. Если затраты на рекламу выражены в тысячах рублей, тогда мы можем произвольно увеличить коэффициент путем замены единиц измерения на десятки тысяч, сотни тысяч и т. д.;

независимые факторы связаны не только с результативным, но и в некоторой степени между собой. Следовательно, даже если еди­ницы измерения сопоставимы, коэффициент при данном факторе не является "чистой" мерой воздействия на объем продаж. Существуют методы определения "чистого" влияния каждого независимого фактора на объем продаж, принимающий во внимание и прямые, и косвен­ные воздействия. Одним из таких методов является расчет коэффи­циентов частной корреляции, которые показывают, в какой степени каждый из факторов влияет на величину объема продаж с учетом их взаимодействия с другими факторными признаками. Однако необходи­мо иметь в виду, что Sr_i ¹ R.