- •Предел функции
- •Предел функции в точке
- •Бесконечные пределы функций
- •Пределы функций на бесконечности
- •Свойства функций, имеющих пределы
- •Замечательные пределы
- •Односторонние пределы
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •Бесконечно малые величины
- •Основные эквивалентности при
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
-
Предел функции
-
Предел функции в точке
-
Определение. Точка называется предельной точкой области определения , если в любой ее окрестности содержатся точки из области определения, отличные от нее самой.
Пусть точка является предельной точкой области определения, .
Определение. Число называется пределом функции в точке (или «при , стремящемся к »), если для любого числа существует число такое, что неравенство
выполняется для всех , для которых .
Комментарий к определению. Любую близость к можно достичь, приближая к . Сложность формулировки определения вызвана необходимостью точно указать смысл выражений «значения аргумента , близкие к » и «значения функции близки к ».
Обозначение: или .
Пример 1.Если , то ,
Пример 2.Если , то , , не существует
Пример 3. . , .
Запись определения предела с использованием символов математической логики выглядит так:
.
Определение предела можно переписать и в другом виде.
.
Это определение также можно записать в окрестностной форме.
.
Бесконечные пределы функций
Определение. Говорят, что предел функция равен при , если для любого найдется такое, что для из неравенства следует неравенство .
Обозначение: .
Определение. Говорят, что предел функция равен при , если для любого найдется такое, что из неравенств следует неравенство .
Обозначение: .
Замечание. Если , то используют обозначение .
-
Пределы функций на бесконечности
Определение. Число называют пределом функции при , если для любого будет существовать такое, что для из неравенства следует неравенство .
Обозначение:
Определение. Число называют пределом функции при , если для любого будет существовать такое, что из неравенства следует неравенство .
Обозначение: .
Замечание. Если , говорят, что имеет в точке конечный предел. В случае, когда , предел называется бесконечным.
Пример. Функция имеет предел при , а именно, при . Покажем это. Пусть – произвольно. Необходимо доказать существование числа такого, что при . Решая неравенство , получим . Следовательно, в качестве искомого числа можно взять .
-
Свойства функций, имеющих пределы
Теорема 1. (единственность предела). Если функция имеет предел (), то это предел единственный.
Теорема 2. (необходимое условие существования предела). Если функция имеет конечный предел при , то она ограничена в некоторой окрестности точки .
Теорема 3. Если функция имеет конечный предел при равный и , то существует проколатая окрестнось точки такая, что для любого из этой окрестности будет выполняться неравенство .
Теорема 4. Пусть в некоторой окрестности имеет место неравенство . Тогда если существуют конечные пределы и , то .
Теорема 5. («о двух милиционерах») Пусть в некоторой окрестности для функций , , имеют место неравенства . Если существуют конечные пределы , то существует предел .
Теорема 6. (об арифметических операциях с пределами функций). Если функции и имеют конечные пределы при , то справедливы равенства
, ,
а если , то и равенство
.
Теорема 7. (о замене переменной в пределах). Пусть выполнены три условия:
-
существует конечный предел ;
-
существует конечный предел ;
-
существует такая проколотая окрестность , что для любого выполнено условие .
Тогда существует
Теорема 8. Если существуют конечные пределы и , то существует предел .