- •Введение
- •Кинематика материальной точки
- •1.1. Описание положения материальной точки в пространстве
- •1.2. Скорость
- •1.3. Ускорение
- •1.4. Путь при криволинейном движении
- •1.5. Частные случаи кинематики материальной точки
- •1.6. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •4. Тангенциальное и нормальное составляющие ускорения.
- •5. Кинематические уравнения равноускоренного движения:
- •Контрольные вопросы
- •2. Кинематика абсолютно твердого тела
- •2.1. Поступательное и вращательное движение абсолютно твердого тела
- •2 Рис.2.3 .2. Кинематика вращательного движения
- •2.3. Плоское движение твердого тела
- •2.4. Примеры решения задач на кинематику вращательного движения
- •Основные положения
- •4. Кинематические уравнения равноускоренного вращательного движения:
- •5. Связь линейных и угловых величин:
- •6. Аналогия между кинематикой поступательного и вращательного движения
- •Контрольные вопросы
- •3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
- •3.1. Инерциальные системы отсчета. Законы Ньютона
- •3.2. Центр масс механической системы и закон его движения
- •3.3. Закон сохранения импульса. Система центра масс
- •3.4. Движения тела переменной массы. Формула Циолковского
- •3.5. Применение законов динамики
- •Основные положения
- •2. Динамические характеристики тела при поступательном движении:
- •3. Основной закон динамики:
- •4. Радиус-вектор и скорость центра масс
- •7. Уравнение движения тела переменной массы:
- •Контрольные вопросы
- •4. Механическая работа и энергия
- •4.1. Работа переменной силы. Мощность
- •4.2. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии
- •4.3. Консервативные силы. Потенциальная энергия
- •4.5. Связь силы и потенциальной энергии
- •4.6. Закон сохранения механической энергии
- •4.7. Упругие и неупругие соударения
- •4.8. Потенциальные кривые. Условия равновесия механической системы
- •4.9. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •6. Консервативные и диссипативные силы.
- •Контрольные вопросы
- •5. Динамика вращательного движения твердого тела
- •5.1. Момент силы и момент импульса относительно точки
- •5.2. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса
- •5.3. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной оси
- •5.4. Основное уравнение динамики для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •5.5. Вычисление моментов инерции. Теорема Штейнера
- •5.6. Кинетическая энергия и работа при вращательном движении
- •5.7. Гироскоп
- •5.8. Примеры применения законов динамики при вращательном движении
- •Основные положения
- •4. Моменты инерции простейших тел относительно оси проходящей через центр масс
- •Контрольные вопросы
- •6. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
- •6.1. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета
- •6.2. Силы инерции во вращающейся системе отсчета
- •6.3. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •Контрольные вопросы
- •7. Механика упругих тел
- •7.1. Одноосное растяжение и сжатие
- •7.2. Сдвиг
- •7.3. Кручение
- •7.4. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •4. Объемная плотность энергии упруго деформированного тела:
- •Контрольные вопросы
- •8. Механика жидкостей и газов
- •8.1. Идеальная жидкость. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли
- •8.2 . Вязкость. Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей
- •8.3. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •4. Сила внутреннего трения:
- •Контрольные вопросы
- •9. Основы релятивистской механики
- •9.1. Преобразования координат и принцип относительности Галилея
- •9.2. Постулаты специальной теории относительности
- •9.3. Преобразования Лоренца. Следствия из преобразований Лоренца
- •9.4. Парадоксы теории относительности
- •9.5. Импульс и энергия в релятивистской механике
- •9.6. Понятие об общей теории относительности
- •9.7. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •Постулаты Эйнштейна
- •5. Формулы релятивистской динамики
- •6. Закон взаимосвязи массы и энергии
- •7. Инварианты релятивистской механики
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Приложение 1.
- •Скалярное и векторное произведение векторов
- •Производная и дифференциал
- •Производные элементарных функций
- •Элементы интегрального исчисления
- •Приложение 2.
- •Оценка систематической (приборной) погрешности
- •Оценка случайной погрешности. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •Методика расчета погрешностей измерений. Погрешности прямых измерений
- •Погрешность косвенных измерений
- •Пример оформления лабораторной работы
- •Порядок выполнения работы
- •Оценка погрешностей измерения
- •2.Вычисление систематической (приборной) погрешности
- •4. Вычисление суммарной погрешности
- •5. Относительная погрешность, или точность измерений
- •6. Запись окончательного результата
- •Графическое представление результатов измерений
- •Общие рекомендации по построению графиков
- •Библиографический список
- •Оглавление
8.2 . Вязкость. Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей
Идеальная жидкость, т.е. жидкость без внутреннего трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам присуще внутреннее трение, называемое вязкостью. Вязкость проявляется, в частности, в том, что возникшее в жидкости или газе течение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. По своей природе силы трения в жидкости являются силами межмолекулярного взаимодействия.
Рис.8.3.
Между слоями жидкости действуют силы внутреннего трения, удовлетворяющие соотношению
, (8.4) где - коэффициент динамической вязкости, зависящий от природы и состояния жидкости; - градиент скорости, показывающий, как быстро изменяется скорость в перпендикулярном направлении движения слоев; - площадь слоя.
Единица вязкости – паскаль-секунда (). Это вязкость такой среды, в которой при градиенте скорости, равном единице, возникает сила внутреннего трения в 1 Н на 1 м2 поверхности касания слоев. Коэффициент вязкости жидкости, прежде всего, зависит от температуры, уменьшаясь с ее увеличением.
Приступим теперь к нахождению закона изменения скорости течения жидкости, с расстоянием от оси трубы. С этой целью выделим цилиндрический объем жидкости радиуса r и длиной l. На боковую поверхность цилиндра действует сила трения, равная
. (8.5)
На основания цилиндра действуют силы давления, равнодействующая которых равна
. (8.6)
При стационарном течении равнодействующая этих сил равна нулю, поэтому
.
Разделяя переменные и учитывая, что с расстоянием от оси трубы скорость убывает и, следовательно, , получим
. (8.7)
При интегрировании этого уравнения учтем, что на стенке трубы, т.е. при , скорость обращается в нуль, поэтому имеем
. (8.8)
Вычисление интегралов приводит к выражению
. (8.9)
На оси трубы скорость максимальна и равна
. (8.10)
С учетом этого формула (8.9) примет вид
. (8.11)
Рис.8.4.
Вычислим теперь объем жидкости протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени. Объем жидкости, протекающей ежесекундно через кольцевую площадку (рис.8.4) с радиусами r и r+dr, равен
.
Подставляя сюда значение и интегрируя по r от 0 до R, будем иметь
. (8.12)
Полученная формула называется формулой Пуазейля. Согласно этой формуле расход жидкости, т.е. ее объем, протекающий за единицу времени, пропорционален изменению давления на единицу длины трубы, четвертой степени ее радиуса и обратно пропорционален вязкости жидкости.
Эта формула используется для определения вязкости жидкостей и газов. Пропуская жидкость или газ через капилляр известного радиуса и измеряя перепад давления и объем, можно найти .
Слоистое или ламинарное течение жидкости наблюдается при небольших скоростях ее движения. С увеличением скорости характер течения жидкости резко меняется. Происходит интенсивное вихревое образование и перемешивание жидкости (газа). Такое течение называется турбулентным (вихревым). Характер течения определяется значением безразмерной величины, числа Рейнольдса
, (8.13)
где - характерный размер сечения.
При малых течение носит ламинарный характер. Начиная с некоторого значения , называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер.
Один из методов определения вязкости основан на измерении скорости падения в жидкости медленно движущихся небольших тел сферической формы.