Министерство образования Российской Федерации

Пензенский государственный университет

Б. К. Мещеряков

Вычислительная математика

Методические указания к выполнению лабораторных работ

Пенза 2000

УДК 519.6 (075)

М 56

Приведены задания и даны указания к выполнению лабора­тор­ных работ по курсу “Вычислительная математика”.

Работа подготовлена на кафедре “Математическое обеспечение и применение электронных вычислительных машин” и предназначена для студентов специальности 22.04.00, а также для студентов других специальностей, изучающих вычислительную математику.

Ил. 2, табл. 10, библиогр. 6 назв.

С о с т а в и т е л ь Б. К. Мещеряков

Под редакцией Б. Г. Хмелевского

Р е ц е н з е н т Г. В. Сугробов, кандидат физико-математи- ческих наук, профессор, заведующий кафед-                              рой информатики и методики ее преподава-                              ния Пензенского государственного педагоги-                              ческого университета им. В. Г. Белинского

Лабораторная работа № 1

Метод половинного деления

Решение нелинейного уравнения

(1)

обычно складывается из двух этапов:

1. отделения корней, т. е. установления возможно тесных промежутков [a,b], в которых содержится один и только один корень уравнения (1);

2. уточнения приближенных корней, т. е. доведения их до заданной степени точности.

В том случае, когда f(x) является непрерывной функцией в сегменте [a,b] и на концах его принимает значения разных знаков, то внутри этого интервала содержится, по крайней мере, один корень уравнения (1). Если на этом интервале функция монотонная, то существует только один корень уравнения (1).

Для определения корней на практике часто применяют графический способ. Для этого уравнение (1) записывают в форме (х)=(х), строят графики функций у₁=(х) и у₂=(х). Абсциссы точек пересечения графиков приближенно являются корнями уравнения (1). Каждую такую точку заключают в достаточно малый интервал [a_k,b_k] и проверяют условие, что на концах интервала f(x) принимает значения разных знаков. В случае, когда f(x) является достаточно сложной функцией и трудно построить графики функций у₁ = (х) и у₂ = (х), то отделение корней можно произвести с помощью компьютера. Для этого выбирают достаточно большой отрезок [A,B], в котором заключены все корни уравнения (1), разбивают его на n равных частей и с шагом вычисляют значения f(x) в точках Количество перемен знаков в ряду определят количество корней уравнения (1) и интервалы, в которых они заключены. Шаг h должен быть достаточно малым, чтобы в интервал длины h не могло попасть более одного корня.

Пример. Отделить корень уравнения

f(x)= 2^х + 4х - 3 = 0. (2)

Решение. Для этого представим уравнение (2) в виде 2^х = 3 - 4х. Строя графики функций y₁ = 2^х и y₂ = 3 - 4х, убеждаемся в том, что корень находится в сегменте[0;1]. Имеем: а = 0; b = 1.

В дальнейшем будем предполагать, что корень уравнения (1) отделен и находится в сегменте [a, b]. Ниже описаны некоторые методы уточнения корней, одним из которых является метод половинного деления. Он заключается в следующем. Пусть корень уравнения заключен в сегменте [a, b], т. е. f (а)^.f (b) < 0. Находим значение функции в точке Если то эта точка является корнем уравнения и процесс решения заканчивается. В противном случае выбирается тот из двух сегментов на концах которого функция принимает значения разных знаков.

На одном шаге решения интервал, в котором имеется корень, уменьшился вдвое. На следующем шаге процесс решения повторяется.

После выполнения n шагов интервал, в котором находится корень, уменьшится в 2ⁿ раз. Для того, чтобы найти корень уравнения (1)  с заданной точностью  > 0, нужно n выбрать таким, чтобы выполнялось неравенство

(b - а) 2^-n < . (3)

Из неравенства (3) определяется количество шагов решения n. Например, при b – а = 1,  = 0,0001 имеем

2^-n < 0,0001. (4)

Из (4) следует эквивалентное неравенство 2ⁿ > 10000. Так как 2¹³=8192, а 2¹⁴=16384, то минимальное значение n, при котором выполняется неравенство (4), равно 14. Таким образом, для достижения заданной точности вычисления корня нужно выполнить 14 итераций.

Задание. Для одного из уравнений приведённых ниже, с помощью компьютера методом половинного деления вычислить значение корня с точностью  = 0,0001: