§2 Линейная зависимость и независимость векторов.

Базисы на плоскости и в пространстве.

Прямоугольная декартова система координат.

1. Линейная зависимость и независимость векторов

Пусть имеется n векторов , , …, и постоянных коэффициентов , ,…,. Выражение называется линейной комбинацией векторов , , …, .

Определение 2.1.

Рис. 3

Векторы , , …, называются линейно зависимыми, если существуют

числа , ,…,, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие,

что линейная комбинация векторов равна нулю:

.

Определение 2.

Рис. 3

1^*. Векторы , , …, называются линейно зависимыми, если хотя бы один

вектор из этой системы можно представить в виде линейной комбинации

остальных.

Можно доказать, что определения 1 и 1^* эквивалентны, т.е. из 1 следует 1^* и наоборот.

Определение 2.2.

Рис. 3

Векторы , , …, называются линейно независимыми, если линейная

комбинация лишь при условии = 0.

Определение 2.2^*.

Рис. 3

Векторы , , …, называются линейно независимыми, если ни один из

этих векторов нельзя представить в виде линейной комбинации остальных.

Можно доказать, что определения 2 и 2^* эквивалентны.

Заметим, что если один из векторов , , …, является нулевым, то совокупность векторов линейно зависима.

Пример 1. Доказать, что коллинеарные векторы линейно зависимы.

Пример 2. Доказать, что любые три вектора a, b и c, лежащие в плоскости линейно зависимы.

Определение 2.3.

Рис. 3

Ненулевые векторы , , …, называются компланарными,

если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Из сказанного выше следует, что три компланарных вектора линейно зависимы.

Пример 3. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

2 Базисы на плоскости и в пространстве

Определение 2.4.

Рис. 3

Совокупность любых двух линейно независимых векторов, принадлежащих

данной плоскости, называется базисом на этой плоскости.

Если , - базис на плоскости, то для любого вектора , лежащего в этой плоскости, можно найти единственным образом такие действительные числа и , что . Числа и называются координатами вектора в данном базисе.

Определение 2.5.

Рис. 3

Совокупность любых трех линейно независимых векторов

, , в пространстве называется базисом в пространстве.

Если - произвольный вектор, то всегда можно найти

единственным образом действительные числа ,,

такие, что будет иметь место представление:

. Коэффициенты ,, в разложении

данного вектора по базису называются координатами

вектора в базисе , , .