Определение 0.3.

Однородным уравнением называется ОДУ 1-ого порядка , правая часть которого является однородной функцией нулевой степени, т.е. .

Последнее равенство означает, что если точка принадлежит области определения функции , то этой же области принадлежит и открытый луч, проходящий через начальную точку и данную точку : .

Полагая , запишем .

В результате приходим ещё к одному определению однородного уравнения.

Определение 8.

Однородным уравнением называется уравнение вида

Теорема 2.

Если , ,

то для любых решение задачи Коши

(6)

Доказательство.

Введём новую неизвестную функцию тогда , , , , при этом . Задача Коши (6) сводится к следующей задаче . Получили задачу Коши для ОДУ 1-ого порядка с разделяющимися переменными. Согласно теореме (§3 настоящей главы) эта задача имеет решение и притом единственное

Пример.

Решить задачу Коши .

Уравнение является однородным. Вводим новую неизвестную функцию , , , отсюда , , , где . , отсюда . Решаем задачу Коши: т.к. , то , , т.е. .

Замечание. Уравнение, сводящееся к однородному.

К однородному уравнению сводится уравнение вида .

Если , то 2 прямые , имеют единственную точку пересечения, необходимо решить систему, из этих двух уравнений, перенести начало координат в точку пересечения прямых , , т.к. в этом случае исчезают свободные члены. Действительно, полагая , получим – однородное уравнение.

Если указанные прямые параллельны, т.е. , то : .

Последнее уравнение заменой приводится к уравнению с разделяющимися переменными: , или .

стр. 7 из 7