Робота 4.2. Знайомство з методами обробки експериментальних результатів на прикладі вивчення залежності електроопору від температури Теоретична довідка

При проведенні будь-якого експерименту перед дослідником неодмінно поста­ють запитання — яким чином можна інтерпретувати отримані дані, наскільки вони є достовірні і наскільки вірним є запропонований опис експериментальних результатів? Що стосується першого запитання, то тут на допомогу приходять попередні теоретичні уявлення або припущення, досвід експериментатора і неодмінно творчий підхід. Для вирішення двох інших розроблено багато математичних методів, які дозволяють кіль­кісно оцінити достовірність отриманих даних.

Для визначеності будемо розглядати досить типову ситуацію, коли в результаті експерименту одержано досить багато експериментальних точок, які визначають деяку функціональну залежність (виключно для зручності одразу позначимо її, як залежність R(T)). Безумовно, ці точки знайдено з певними похибками, як систематичними, так і ви­падковими. Будемо вважати, що ми в змозі оцінити похибку для кожної точки. Спро­буємо апроксимувати ці точки поліноміаль­ною залежністю (принципово можливо уза­галь­нити такий підхід на інший вид функції). Будемо вважати, що апріорі ми не знаємо, якої степені має бути цей поліном. Фактично ми маємо незалежні задачі:

1. Визначити степінь полінома, яким можна апроксимувати отримані екс­пе­ри­мен­тальні дані (в загальному випадку — визначити вид апроксимуючої функції).

2. Знайти коефіцієнти полінома, які забезпечують найкращу апроксимацію (в за­галь­­но­му випадку — якісь чисельні параметри функції).

3. Визначити ймовірність того, що знайдена нами апроксимація коректна.

Апроксимація експериментальнх точок, що знайдені з похибками, фактично оз­начає, що ми маємо виділити так звану регулярну складову — власне апроксимуючу функ­цію,— причому кожна точка буде відхилятись від неї на величину відповідної ви­пад­кової похибки. Для будь-якого і-того виміру отримане нами значення має вигляд

Rі(T)= n T n + n—1 T n—1 + ...+ 1 T + 0 + Rі(T),

(1)

де R_і(T) називається випадковою складовою і є випадковою функцією T. В більшості випадків можна вважати, що вона розподілена за Гаусовим законом з ну­льо­вим середнім та дисперсією . Останнє є одним з важливих припущень теорії вимірів, яке добре зарекомендувало себе на практиці.

Метод найбільшої правдоподібності. Метод найменших квадратів.

Досліджувана нами величина R за визначеного значення T є випадковою вели­чиною, яка зкладається з регулярної та випадкової складової. Отже, формально R_і мож­на вважати функцією коефіцієнтів в рівнянні (1).

Rі(T)= Rі(T) — (n T n + n—1 T n—1 + ...+ 1 T + 0).

(2)

Припустимо, що необхідно для обраної функції (в нашому випадку — для полі­ному заданої степіні) найбільш ефективно оцінити систему параметрів _і. Метод найбільшої правдоподібності дозволяє розв’язати цю проблему. Цей метод поля­гає в тому, що для набору випадкових величин R_і будується функція правдоподібності L, яка є ймовірностю отримати на експерименті саме цей набір значень R_і(T_i) для обра­ної функції R(T).

Якщо величини R_і незалежні одна від одної (це дуже суттєве обмеження, яке на практиці мо­же і не виконуватись), функція правдоподібності L дорівнюватиме добутку ймовірно­стей p(R_і):

L = p(Rn) p(Rn -1)...p(R1),

(3)

де n — кількість експериментальних точок. За умов нормального розподілу R_і

(4)

і функція правдоподібності до­рів­нює

,

(5)

де р_i(0)=p₀ і ² (дисперсія величини R) вважаються однаковими для кожного виміру.

Методами математичної статистики показується, що найбільш правдоподібна оцінка системи параметрів _і відповідає максимуму функції правдоподібності (макси­мальна ймовірність), тобто із умов

L/і = 0, i= 0, 1, 2, ..., n‚

(6)

або‚ оскільки логарифм є монотоннoю функцією аргументу‚ іноді використовують оцінку

 lnL / і = 0, i = 0, 1, 2, ..., n.

(7)

Виражаючи (3) через (2) та підставляючи в (7) отримуємо систему лінійних рівнянь, які легко розв’язуються методами алгебри або аналітично на комп’ютері (пропонуємо ви­вести самостійно системи рівнянь). Як видно з (4), за умови нормального розподілу величини R_і з ну­льо­вим середнім максимум функції правдоподібності має місце за умови мінімуму величини , тобто працює окремий випадок метода най­біль­шої прав­до­по­діб­ності — метод найменших квадратів, який ретельно описано в [1].