Одноканальная система мо с ожиданием
Интенсивность входящего потока , интенсивность обслуживания .
λ – среднее число заявок, поступающих на вход СМО в единицу времени, T0 = λ-1 – средний интервал времени между заявками.
- среднее число заявок, которое обслуживается одним каналом в единицу времени, Tμ = μ-1 – среднее время обслуживание заявки.
Множество возможных состояний системы: S0 - канал обслуживания свободен; S1 - канал обслуживания занят, очереди нет; Sk - канал обслуживания занят, в очереди k-1 заявка (k=2, 3,...,m); S(m+1) - канал обслуживания занят, в очереди m заявок. Размеченный граф состояний системы представлен на рисунке.
При исследовании систем массового обслуживания, чаще всего , интересуются предельными вероятностями состояний. Система уравнений для предельных вероятностей:
Уравнение нормировки pk=1.
Для определения стационарных вероятностей сначала выразим все вероятности, начиная с p1, через p0, а затем, воспользовавшись уравнением нормировки, найдем p0. Введем обозначение =/..
Из первого уравнения p1=p0. Из второго уравнения p2=2p0. По аналогии вероятность k-го состояния определится как
pk=kp0.
Подставив полученные выражения в нормировочное уравнение, получим
, .
В квадратных скобках - сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем и числом членов m+1. Следовательно,
,
Показатели эффективности.
Вероятность отказа
.
Относительная пропускная способность q=1-Pотк.
Абсолютная пропускная способность .
Среднее число заявок в системе
.
Среднее число заявок в очереди
С вероятностью р1=αp0 в очереди одна заявка, вероятностью р1=α2p0 в очереди две заявки и т.д. Математическое ожидание случайной величины, принимающей дискретные значения:
В соответствие с формулой Литтла среднее время пребывания заявки в системе и среднее время ожидания обслуживания определяются как
.
Пример.
Имеется некоторое техническое устройство, которое требует обслуживания в среднем через время равное t0 часов. Состояние, когда система не требует обслуживания (т.е. находится в работоспособном состоянии) S0.
Состояние, когда система требует обслуживания S1.
Это соответствует интенсивности перехода S0S1 λ01=1/t0. на графе состояний.
Потоки всех переходов в примере полагаются простейшими , т.е. плотность распределения времени проведения операции ti (i=0...4) - экспоненциальная.
После перехода в состояние S1 производится предварительный осмотр устройства, на который требуется в среднем t1 часов. В результате предварительного осмотра равновероятно (с вероятностями 1/3) может быть принято одно из трех решений:
- Требуется замена отказавшего элемента, на что тратится в среднем t2 часов. Вероятность этого решения q12=1/3, ему соответствует переход S1S2. Этому соответствует интенсивность перехода
λ12=q12∙
- Требуется замена ряда узлов с последующей регулировкой, на что тратится в среднем t3 часов. Вероятность этого решения q13=1/3, ему соответствует переход S1S3 с интенсивностью
λ13=q13 .
- Требуется обслуживание, регулировка и проведение цикла испытаний, на что тратится в среднем t4 часов. Вероятность этого решения q14 , ему соответствует переход S1S4 с интенсивностью
λ14=q14∙.
Сумма q12+ q13+ q14=1. Отметим, что переходы, вообще говоря, могут оказаться и не равновероятными.
- Из состояний S2, S3, S4 возможны переходы только в состояние S0, Следовательно,
20=1/t2, 30=1/t3, 40=1/t4.
Требуется определить среднее время пребывания системы в работоспособном состоянии, т.е. в состоянии (S0).
Это типичная ситуация, возникающая в процессе эксплуатации сложных систем. Возможны ситуации с иным числом вариантов обслуживания.