Задание № 125.

1.Пользуясь схемой Горнера, разложить полином f(x) по степеням хх₀:

a) f(x) = x⁴ + (3  8i)x³  (21 + 18i)x²  (33  20i)x + 7 + 18i, x₀ =  1 + 2i,

б) f(x) = x⁵  4x³ + 6x²  8x + 10, x₀ = 2.

2.Отделить кратные множители полиномов:

1. f(x) = x⁶  2x⁵  x⁴  2x³ + 5x² + 4x + 4,

2. f(x) = x⁶  15x⁴ + 8x³ + 51x²  72x + 27.

3.Построить полином наименьшей степени по данной таблице

значений: x   1 2 3 4 6

f(x)  5 6 1 4 10.

Ответы.

1a. (x + 1  2i)  (x + 1  2i) + 2(x + 1  2i) + 1.

1б. f(2) = 18, f'(2) = 48, f''(2) = 124, f⁽³⁾ (2) = 216, f⁽⁴⁾(2) = 240, f⁽⁵⁾(2) =120.

2а. (x³  x²  x  2)².

2б. (x  1)³(x + 3)²(x  3).

3. f(x) = x³  9x² + 21x  8.

Задание № 13  3.

1. Построить полином наименьшей степени, имеющий корни:

а) 2, 1, 1+i, i (полином с действительными коэффициентами).

б) i (двойной корень), 1i (простой корень).

2. Определить   так, чтобы один из корней многочлена

х³  7х +  равнялся удвоенному другому.

3. Определить М так, чтобы при  х > М

 х⁴  3х³ + 4х² + 2 > 100.

4. Найти х так, чтобы  f(х) < f(1), где f(х) = х⁴  4х + 5.

Ответы.

 

1a. x⁴  3x³ + 2x² + 2x  4.

1б. (x  i)²(x + 1 + i) = x³ + (1  i)x² + (1  2i)x  1  i.

2.   = 6.

3. M = 6.

4. x = 1+ i,   < .

Задание № 142.

1.Составить ряд Штурма и оделить корни многочленов:

а) х³ + х²  2х  1, б) х⁴ + х²  1, в) х⁴  2х³  3х² + 2х + 1.

2.Составить ряд Штурма и найти число вещественных корней

многочлена: Е_n(х) = 1 + х/1! + х²/2! +...+ хⁿ/n!.

3.Ограничить сверху и снизу вещественные корни многочлена:

х⁵ + 7х³  3.

4.Определить число вещественных корней многочлена:

х⁵  5ах³ + 5ах² + 2b.

5.Вычислить с точностью до 0,000001 вещественный корень

уравнения: х³  2х  5 = 0.

6.Вычислить с точностью до 0,0001 положительный корень уравнения: х³  5х  3.

Ответы.

1а. 3 вещ. корня в интервалах: (2, 1), (1, 0), (1, 2).

1б. 2 вещ. корня в интервалах: (1, 0), (1, 2).

1в. f = x⁴  2x³  3x² + 2x + 1, f₁ = 2x³  3x²  3x + 1, f₂ = 9x²  3x  5,

f₃ = 9x + 1, f₄ = 1. 4 вещ. корня в интервалах: (2, 1), (1, 0), (0, 1), (2, 3).

2. Если n  четно, то Е_n(х) не имеет вещ. корней, нечетно, 1 вещ. корень.

3. 0 < x_i < 1.

4. Ряд Штурма: f = x⁵  5ax³ + 5a²x + 2b, f₁= x⁴  3ax² + a²,

f₂ = ax³  2a²x  b, f₃ = a(a²x²  bx  a³), f₄ = a(a⁵  b²)x, f₅ = 1. Если a⁵  b² > 0, то a > 0, все старшие коэф. > 0, все 5 корней f веществ., если a⁵  b² < 0, то в зависимости от знака а распределение знаков выглядит:

f f₁ f₂ f₃ f₄ f₅

a > 0    +  + + +

+  + + + +  + 5. 2,094551.

a<0    + +   +

+  + +   + + 6. 2,4908.