3. Вычислить определители:

4. Предложить схему вычисления определителей 3-го порядка,

отличающуюся от “правила “треугольников”.

5. Предложить схему вычисления определителей 4-го порядка.

Ответы

1а. Умн. на . 2. Тождество. 3д. (af  be + cd)².

3а. 17.     3е. (x  x₁)(x  x₂)...(x  x_n).

1б. Не изменится. 3б. 6. .    3ж. (a₀ + a₁ +...+ a_n)xⁿ.

1в. 0 или  произв. 3в. 150.

этих элем. 3г. 52.

Задание 6-1.

1. Вычислить определители приведением к треугольному виду:

2. Вычислить определители методом рекуррентных соотношений.

3. Вычислить определители методом представления их в виде суммы

определителей или другим методом.

Ответы

1. n!.

2.  

3. Указание: получить соотношение:

3. 

4. Указание: Элементы вне главной диагонали представить:

5. (n  1)!.

6.  

8. (x  x₁)(x  x₂)...(x  x_n).

Задание № 7-1.

1.Найти вектор х из уравнения

а₁ + 2а₂ + 3а₃ + 4х = 0, где а₁ = (5, 8, 1, 2), а₂ = (2, 1, 4, 3),

а₃ = (3, 2, 5, 4).

2.Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми: а) а₁ = (1, 0, 0, 2, 5), а₂ = (0, 1, 0, 3, 4), а₃ = (0, 0, 1, 4, 7),

а₄ = (2, 3, 4, 11, 12);

б) а₁ = (4, 5, 2, 6), а₂ = (2, 2, 1, 3), а₃ = (6, 3, 3, 9), а₄ = (4, 1, 5, 6).

3.Система векторов а₁, а₂,...а_k   линейно независима. Выяснить, являются ли линейно зависимыми системы векторов:

а) b₁ = 3а₁ + 2а₂ + а₃ + а₄,  б) b₁ = а₁  а₂,

b₂ = 2а₁ + 5а₂ + 3а₃ + 2а₄,  b₂ = а₂  а₃, 

b₃ = 3а₁ + 4а₂ + 2а₃ + 3а₄.  ……………

b_k1 = а_k-1  а_k, 

b_k =а_k а₁.

4.Найти все значения , при которых вектор b линейно выражается через векторы a₁, а₂,...,а_k: а₁ = (2, 3, 5), а₂ = (3, 7, 8),

а₃ = (1, 6, 2), b = (7, 2, ).

5.Найти какой ни будь базис системы векторов и выразить через него остальные векторы системы:

а) а₁ = (5, 2, 3, 1), а₂ = (4, 1, 2, 3), а₃ = (1, 1, 1, 2), а₄ = (3, 4, 1, 2),

а₅ = (7, 6, 7, 0);

б) а₁ = (2, 1, 3, 5), а₂ = (4, 3, 1, 3), а₃ = (3, 2, 3, 4), а₄ = (4, 1, 15, 17).

Ответы

1. (0, 1, 2, 2). 3б. Да.(л. зав.)

2a. Да.(л. нез.) 4.   = 15.

2б. Нет. (л. зав.) 5а. (a₁, a₂, a₄), a₃ = a₁  a₂.

3а. Нет.(л. нез.) 5б. (a₁, a₂, a₃), a₄ = 2a₁  3a₂ + 4a₃, a₅ = a₁ + 5a₂  5a₃ .

Задание № 8-5.

1.Найти ранг матриц с помощью элементарных преобразований:

2.Вычислить ранг следующих матриц:

а)  б) в)

3.Найти ранг матрицы при различных значениях параметра :

 

4.Пусть А - (mxn)-матрица и В - (mx(n+k))-матрица, получающаяся из матрицы А приписыванием k новых столбцов. Докажите, что:

а)Если строки матрицы В линейно зависимы, то и строки матрицы А линейно зависимы.

б)Ранг матрицы А не превосходит ранга матрицы В.

 Ответы

1а. 3. 1б. 3. 1в. 4.

2а. 3. 3. 3 при   = 1, при   = 2.

2б. 4.

2в. 3. 4. Док-во.