- •Глава IV Числовые последовательности п. 1 Определение и примеры
- •Способы задания последовательности
- •Последовательности бывают:
- •Бмп (бесконечно малые последовательности);
- •3. Неограниченные;
- •Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
- •П. 2 Свойства бмп
- •П. 3 Сходящиеся последовательности
- •П. 4 Арифметические свойства пределов
- •П. 5 Свойства пределов, связанные с неравенствами
- •П. 6 Принцип компактности и принцип полноты
- •П. 7 Число e
П. 3 Сходящиеся последовательности
Определение 1. Последовательность называется сходящейся, если , где - БМП, а число . Тогда число называется пределом последовательности . Обозначается ( при , стремящимся к бесконечности, стремится к (или равно) ).
Определение 1*. Последовательность сходится к , т.е. если если для любого положительного (эпсилон) найдется номер, зависящий от , такой, что, как только n>N выполняется соотношение :
(**) .
Покажем, что определения 6 и 6* эквивалентны.
Пусть в смысле определения 6. Тогда , где - БМП. Следовательно, - БМП, тогда выполняется соотношение (*), т.е. . Получим соотношение (**).
Теперь пусть в смысле определения 6*. Тогда выполняется соотношение (**). Полагая , получим , которая является БМП в соответствие с соотношением (*). Тогда .
Теорема 1. О единственности предела
Если последовательность сходится, то она имеет единственный предел.
Доказательство:
. Пусть последовательность имеет два предела, т.е. , , для определенности. Так как то имеет место соотношение (**), т.е. начиная с некоторого номера . Так как то выполняется (**), т.е. начиная с некоторого номера . Пусть тогда, начиная с номера . Пусть Тогда пересечение этих двух множеств, задаваемых неравенствами, пусто, т.е. нашлось, по крайней мере, одно для которого не выполняется (**). Это означает, что предела не существует.
Теорема 2. Теорема Вейерштрасса - необходимое условие сходимости
Если последовательность сходится, то она ограничена.
Доказательство:
Пусть последовательность сходится, тогда имеет место соотношение (**), т.е. начиная с некоторого номера , . Положим , тогда . Рассмотрим ,т.е. ,что озна- чает ограниченность последовательности .
Теорема 3. Признак Больцано-Вейерштрасса.
Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху(снизу), то она сходится.
Доказательство:
Пусть последовательность монотонно возрастает () и ограничена (). Тогда из условия ограниченности следует, что - непустое ограниченное сверху множество. Следовательно, по теореме о ТВГ (глава III, п. 4) множество , значит, и последовательность имеет ТВГ.
Обозначим и покажем, что .
В силу определения ТВГ имеем . Кроме того, последова- тельность монотонно возрастает, поэтому найдется такой номер , что т.е. . Следовательно, или . Таким образом, существует такой номер , начиная с которого .
Пример. Последовательность монотонно возрастает, но не ограничена, следовательно, расходится.
Пример. Последовательность ограничена, но не является монотонной, следовательно, расходится.
Пример. Пусть и ,... или (*). Последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, например, числом . Покажем это ММИ.
Пусть . Тогда . Тогда существует . Возведем (*) в квадрат и перейдем к пределу при : , т.е. . Таким образом, .
П. 4 Арифметические свойства пределов
Теорема 1. Пусть последовательности и сходятся, тогда сходится и последовательность , причем .
Доказательство:
Так как и , то , , где и - БМП. Рассмотрим , причем - БМП. Следовательно, .
Следствие. Сумма любого конечного числа сходящихся последовательностей, является сходящейся последовательностью, предел которой равен сумме соответствующих пределов.
Теорема 2. Если , (пределы последовательностей xп и yп равны a и b соответственно), то .
Доказательство:
В силу определения предела последователь- ности имеем где , - БМП. Рассмотрим , при этом - БМП. Следовательно,
Теорема 3. Если пределы последовательностей xп и yп равны a и b соответственно для любого натурального числа n и yп ≠0, b≠0 (, ), то .
Доказательство:
Докажем сначала лемму.
Лемма. Если последовательность сходится , то последовательность - ограничена.
Пусть . Тогда имеет место соотношение (**). Пусть в (**) т.е. . Тогда существует номер , начиная с которого или . Следовательно, или . Пусть . Тогда . ▲
Рассмотрим . Так как - БМП, а - ограничена, то - БМП. Таким образом, .