- •V. Дифференциальное исчисление функции одного переменного
- •1. Производная. Правила дифференцирования
- •2. Таблица производных
- •3. Правила дифференцирования
- •4. Производные высших порядков
- •5. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически Говорят, что уравнение
- •6. Уравнения касательной и нормали
- •7. Дифференциал первого порядка
- •8. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •9. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя
- •Задание 5.2
- •Задание 5.3
- •Задание 5.4
- •Задание 5.5
- •Задание 5.6
- •Задание 5.7
- •Задание 5.8
- •Задание 5.14
- •Задание 5.15
- •Задание 5.16
V. Дифференциальное исчисление функции одного переменного
1. Производная. Правила дифференцирования
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим значению переменной в точке приращение , при этом получит приращение . Если существует конечный предел
,
то он называется производной функции f(x) в точке x0 и обозначается . Общеприняты и другие обозначения производной функции
: , ; если же зависит от значения переменной (времени), то часто вместо пишут . Если вышеуказанный предел существует в каждой точке интервала , то становится функцией, определённой на (a, b).
Пример 1. Используя определение производной, найти производную функции .
Решение. Придадим значению переменной x приращение x, тогда функция получит приращение
y = f(x + x) – f(x) = sin (2(x + x) + 1) – sin (2x + 1) =
= 2 sin x cos (2x + x + 1).
Отсюда находим
.
Таким образом, .
Процесс нахождения производной часто называют дифференцированием.
2. Таблица производных
(Здесь и ниже C – постоянная величина.)
; ; ;
; ; ;
; ;
; .
3. Правила дифференцирования
Если функции f(x) и g(x) имеют производные и , то функции , , , также имеют производные (последняя – при условии ), и при этом
; ;
; .
Теорема 1 (о производной сложной функции). Пусть функции , определённая в окрестности точки x0, и z = g (y), определённая в окрестности точки , обладают тем свойством, что существуют производные и . Тогда функция имеет производную в точке x0 и при этом
.
Пример 2. Найти производные функций:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Решение. а), б) Применяя правила дифференцирования, находим
=;
в), г) Применяя теорему о дифференцировании сложной функции, находим
=;
.
Пример 3. Показать, что функция удовлетворяет уравнению
. (1)
Решение. Найдём производную функции
.
Подставив это выражение в (1), получим
,
или .
Это и доказывает, что наша функция удовлетворяет уравнению (1).
Для дифференцирования степенно-показательной (вида ) и некоторых других функций удобно пользоваться так называемым логарифмическим дифференцированием.
Пример 4. Найти производные функций:
а) ; б) .
Решение. а) Предварительно прологарифмируем обе части равенства , имеем
.
Продифференцируем обе части последнего равенства, считая сложной функцией от :
;
отсюда находим
.
Подставив , получим
.
б) действуя так же, находим
;
;
4. Производные высших порядков
Производную от производной называют второй производной от функции f(x) и обозначают . Производную от называют третьей производной функции f(x) и обозначают . Таким образом,
, , . . . , , . . .
Общепринятыми являются и другие обозначения производной n-го порядка функции y = f(x): или .
Пример 5. Найти , если y = ln(sinx) .
Решение.
;
.
5. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически Говорят, что уравнение
F(x, y) = 0 (2)
неявно задаёт функцию y = f(x) в интервале (a, b), если для любого уравнение F(x0; y)=0 имеет единственное решение y0 = f(x0).
Для нахождения производной функции , заданной неявно уравнением (2), следует продифференцировать обе части равенства (2), считая функцией от ; затем полученное уравнение, в которое будут входить x, y и , следует разрешить относительно .
Для нахождения равенство (2) дифференцируется дважды, в результате чего получается уравнение, содержащее x, y, , , которое следует разрешить относительно , затем вместо подставить функцию от x и y, найденную указанным выше способом.
Пример 6. Найти значения , , если функция y задана неявно уравнением
. (3)
Решение. Считая y функцией от x, продифференцируем обе части равенства (3): ;
; . (4)
Отсюда находим
; (5)
.
Для нахождения y(0) в равенстве (3) положим x = 0:
; ; y(0) = 1.
Таким образом,
.
Найдём , для чего продифференцируем равенство (4):
;
;
.
Подставив в последнем равенстве вместо выражение (5), получим
,
откуда находим
.
Если функция y = y(x) задана параметрическими уравнениями
то при условии существования производных , и существует производная и при этом
.
Вторая производная находится по формуле
,
или (что то же самое)
.
Пример 7. Найти , , если
Решение. Имеем:
; ;
;