Тема 2. Сложные события и их вероятности Теоремы сложения и умножения вероятностей Задачи.

2.1. Из урны, содержащей 5 синих, 3 черных и 2 белых шара, извлекаются одновременно 3 шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары будут разных цветов.

2.2. Из полной колоды карт (36 шт.) извлекают случайным образом 4 карты. Найти вероятность того, что все эти 4 карты будут разных мастей:

а) в условиях выбора без возвращения карт обратно в колоду;

б) в условиях выбора с возвращением каждой извлечённой карты обратно в колоду;

2.3. Каждая буква слова МАТЕМАТИКА написана на отдельной карточке, которые тщательно перемешаны. Последовательно случайным образом извлекаются 4 карточки. Какова вероятность получить при извлечении слово ТЕМА?

2.4. Номер серии выигрышного билета лотереи состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что первый номер выигравшей серии будет состоять только из нечетных цифр.

2.5. Условиями приема партии деталей допускается не более одной бракованной детали из пяти. Найти вероятность того, что партия из 10 деталей, среди которых 3 бракованных, будет принята при испытании выбранной наудачу половины всей партии.

2.6. Какова вероятность того, что выбранное наудачу изделие окажется первосортным, если известно, что 3% всей продукции составляют нестандартные изделия, а 75% стандартных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта?

2.7. Вероятность только одного попадания в цель при одновременном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели первым орудием, если для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

2.8. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9; второй – 0,8; третий – 0,85. Какова вероятность того, что в течение часа:

а) ни один станок не потребует внимания рабочего;

б) все три станка потребуют внимания рабочего;

в) какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего;

г) хотя бы один станок потребует внимания рабочего?

2.9. Агрегат имеет три двигателя и способен функционировать, если работают по крайней мере два из них. Вероятность выхода из строя первого двигателя равна 0,01, второго – 0,02, третьего – 0,03. Какова вероятность выхода агрегата из строя.

2.10. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится

а) с возвращением;

б) без возвращения.

2.11. При раздаче колоды карт в 52 карты четырем игрокам (полностью) один из них три раза подряд не получал тузов. Есть ли у него основания жаловаться на невезение? Какова вероятность такого события?

2.12. Радист трижды вызывает корреспондентов. Вероятность того, что корреспондент примет первый вызов равна 0,2; второй – 0,3; третий – 0,4. По условиям приема события, состоящие в том, что i-й по счету вызов (i = 1, 2, 3) услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент: а) вообще услышит радиста;

б) не услышит радиста.

2.13. В театральной кассе к некоторому моменту времени остались: 1 билет в театр эстрады, 2 билета в драматический театр и 3 билета в театр комедии. Каждый очередной покупатель покупает лишь один билет в любой из возможных театров. Два человека из очереди последовательно приобрели билеты. Найти вероятность того, что:

а) куплены билеты в разные театры;

б) куплены билеты в какой-нибудь один театр;

в) все билеты в театр эстрады распроданы;

г) билет в театр комедии куплен раньше, чем билет в театр эстрады.

2.14. Студенты выполняют контрольную работу в классе контролирующих машин. Работа состоит из 3 задач. Для получения положительной оценки необходимо решить 2 задачи. Для каждой задачи зашифровано 5 различных ответов, из которых только 1 правильный. Студент плохо знает материал и поэтому выбирает ответы для каждой задачи наудачу. Какова вероятность того, что студент получит положительную оценку?

2.15. Наудачу подбрасываются две игральные кости. Какова вероятность того, что:

а) сумма выпавших очков четна;

б) произведение очков четно;

в) на одной из костей число очков четно, а на другой нечетно;

г) ни на одной из костей не выпало 6 очков?

д) на обеих костях выпало одинаковое число очков?

2.16. Вероятность улучшить свой прежний результат для данного спортсмена равна p. Найти вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается сделать 2 попытки.

2.17. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона, поэтому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три места. Как изменится вероятность, если он помнит, что эта цифра нечетная?

2.18. Технический контроль проверяет из партии готовой продукции не более пяти изделий последовательно друг за другом. При обнаружении бракованного изделия бракуется вся партия. Найти вероятность того, что вся партия будет забракована, если брак в ней составляет 4%.

2.19. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что с двух выстрелов цель будет поражена.

2.20. В механизм входят 2 одинаковые детали. Механизм не будет работать тогда, когда обе поставленные детали будут уменьшенного размера. У сборщика 10 деталей, из которых 3 меньше стандарта. Найти вероятность того, что механизм будет работать, если детали извлекаются случайно.

2.21. Вероятность того, что в страховую компанию в течение года обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна 0,15; второй – 0,05; третий – 0,02. Определить вероятность того, что в течение года в компанию обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов – события независимые?

2.22. Стрелок А поражает мишень при некоторых условиях стрельбы с вероятностью 0,8, стрелок В – с вероятностью 0,7 и стрелок С – с вероятностью 0,6. Был сделан залп по мишени одновременно всеми стрелками, в результате чего 2 пули попали в цель. Найти вероятность того, что:

а) стрелок С попал в цель;

б) стрелок С не попал в цель.

2.23. Вероятность того, что проходящая мимо бензоколонки машина подъедет к заправке, равна 0,4. Сколько машин должно пройти мимо заправки, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9, можно утверждать, что хотя бы одна из них потребует заправки?

2.24. Сколько раз нужно бросить две игральные кости, чтобы с вероятностью не меньше 0,5, хотя бы один раз появилась сумма очков, равная 12?

2.25. Саженец яблони приживается с вероятностью 0,6; груши – 0,5; винограда – 0,4. В саду было посажено по одному дереву каждого вида. Прижилось два саженца. Какое событие при этом более вероятно: саженец винограда прижился или саженец винограда не прижился?

2.26. Производится подбрасывание игральной кости до появления 6 очков на верхней грани. Найти вероятность того, что придется сделать 5 подбрасываний?

2.27. Два стрелка производят стрельбу по мишени, вероятности попадания в которую для каждого из них одинаковы и равны 0,8. Найти вероятность того, что при трех выстрелах у первого стрелка будет больше попаданий, чем у второго?

2.28. На полке имеется 15 тетрадей, из которых 3 в линейку, а остальные – в клетку. Найти вероятность того, что при случайном изымании трех тетрадей не более двух из них будет в клетку.

2.29. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9. Сколько следует произвести выстрелов, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95, можно было ожидать, что среди них есть хотя бы один промах?

2.30. Вероятность того, что студент ответит на теоретический вопрос билета равна 0,9, решит предложенную задачу – 0,8. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, состоящий из одного теоретического вопроса и двух задач, если для этого необходимо обязательно ответить на теоретический вопрос и решить хотя бы одну задачу?

2.31. Вероятность успешной сдачи экзамена по математической статистике равна 0,7, а при каждой следующей попытке увеличивается на 0,1. Какова вероятность того, что студент не будет отчислен из-за несдачи экзамена по математической статистике, если пересдавать экзамен можно не более двух раз?

2.32. Команда состоит из двух стрелков. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,9. Каждому в случае промаха разрешено сделать еще один выстрел. Какова вероятность того, что в мишени будет две пробоины?

2.33. В продаже имеется 50 альбомов по 50 копеек, 30 альбомов – по 70 копеек и 20 альбомов – по 1 рублю. Какова вероятность того, что стоимость двух купленных альбомов не превысит 1,5 рубля?

2.34. Имеется пять ключей, из которых только один подходит к двери. Ключ подбирается наудачу. Какова вероятность того, что для открывания двери придется сделать не более двух проб?

2.35. Фирма по продаже компьютеров проводит рекламную кампанию нового модельного ряда по радио и телевидению. При оценке эффективности рекламы выяснилось, что, в среднем, более 80% населения видели рекламу по телевидению (событие А), и более 40% - слышали по радио (событие В). Проверить справедливость следующих утверждений:

а) А и В несовместны,

б) А и В противоположны,

в) Р(АВ) > 0,2.

2.36. В коробке 12 новых теннисных мячей. Для игры берут 3 мяча, после игры возвращают их обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличаются. Какова вероятность, что после 4-х игр в коробке не останется новых мячей.

2.37. В урне 4 белых и 5 чёрных шаров. Два игрока по очереди вытаскивают шары до появления белого шара. Тот, кто первым вытащит белый шар – выигрывает. Какова вероятность, что выиграет первый игрок?

2.38. Исследование, проведенное маркетинговой службой компании, показало, что, в среднем, 10% клиентов не довольно качеством оказываемых компанией услуг. Сколько клиентов должна обслужить компания, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9, можно утверждать, что хотя бы один из них будет не доволен качеством оказываемых услуг?

2.39. Студент знает к зачету только 15 вопросов из 30. Он считает, что если пойдет отвечать вторым, то его шансы вытянуть счастливый билет увеличатся. Прав ли он? Докажите.

2.40. В налоговую инспекцию поступила информация, что в фир­ме «А» 5 сотрудников списочного состава в 40 человек — «мертвые души». Прове­ряющий инспектор утверждает, что для обнаружения хотя бы одной «мертвой души» ему достаточно проверить 6 наугад выбранных нарядов на выполненные работы. Какова вероятность этого события?

2.41. Студент ищет работу. Он побывал на собеседовании в банке и в страховой компании. Вероятность своего успеха в банке он оценивает в 0,2, в страховой компании – в 0,1. Какова вероятность того, что: а) студент устроится на работу; б) студент получит предложение только из одного места?

2.42. Машина оснащена электронной сигнализацией и механической блокировкой рычага переключения передач. Вероятность того, что угонщик справится с сигнализацией, составляет 0,1; сломает блокиратор – 0,2. Сколько попыток должен предпринять угонщик, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95, можно утверждать, что хотя бы одна из них будет успешна?

2.43. Менеджер по кадрам ищет сотрудника с высшим экономическим образованием и опытом работы на замещение вакансии начальника отдела долговых обязательств. По своему опыту он знает, что в среднем 70% претендентов имеют высшее экономическое образование, и 30% - опыт руководящей работы и эти события независимы. Сколько резюме должен просмотреть менеджер по кадрам, чтобы с вероятностью не меньшей 0,98, хотя бы один претендент удовлетворял обоим требованиям к вакансии?

2.44. А и Б стреляют в тире, но у них есть только один шестизарядный револьвер с одним патроном. Поэтому они договорились по очереди случайным образом крутить барабан и стрелять. Начинает А. Найдите вероятность того, что выстрел произойдет, когда револьвер будет у А.

2.45. Игроки поочередно подбрасывают монетку, пока не появится «орёл» - тогда игрок выигрывает. Какова вероятность выигрыша у каждого из игроков, если играет:

а) 2 человека;

б) 3 человека;

в) 4 человека;

г) n игроков.

2.46. Старинная задача.

Уходя из квартиры, N гостей, имеющих одинаковый размер обуви, надевают калоши в темноте. Каждый их них может отличить правую калощу от левой, но не может отличить свои от чужих. Какова вероятность, что:

а) каждый гость наденет свои калоши;

б) каждый гость наденет калоши, относящиеся к одной паре (не обязательно свои).

2.47. Из колоды 36 карт наудачу извлекается 4 карты. Если рассмотреть варианты возвращения каждой извлеченной карты обратно в колоду и выбор без возвращения, какова вероятность, что:

а) это будут 4 туза;

б) не окажется ни одной карты красной масти (♥,♦);

в) будет 2 бубновых карты и две пиковых;

г) будет хотя бы одна карта трефовой масти.

Задачу решить с использованием теорем сложения-умножения вероятностей (можно проверить себя комбинаторикой).

2.48. Найти число изделий в партии, если известно, что она состоит из изделий 1-го и 2-го сорта, при этом, если из этой партии взять наугад два изделия, то вероятность того, что: - оба изделия 1-го сорта, равна 15/26; - разных сортов 5/13.

2.49. Оптовая база заключает договоры с магазинами на снабжение товарами. Известно, что от каждого магазина заявка на обслуживание на очередной день может поступить на базу с вероятностью 0,2, причем независимо от других магазинов. Требуется определить минимальное количество магазинов, с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее 0,95 от них поступала хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день.

2.50. Правильным икосаэдром называется правильный двадцатигранник, все грани которого совершенно равноправны. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник.

Некоторые из граней окрашены в красный цвет, а остальные в синий. Если при бросании икосаэдра обнаружилось, что вероятность его остановки на красной грани в четыре раза больше вероятности его остановки на синей грани, то сколько его граней окрашено в красный цвет?

2.51. Администрация магазина, торгующего косметикой, провела исследование и установила, что из всех покупателей, посещающих их магазин и сделавших покупки, 70% приобретают духи/туалетную воду (событие А), 65% - декоративную косметику (событие В), а 55% - покупают и то, и другое.

а) Какова вероятность, что случайно взятый покупатель приобрел хотя бы одну из этих позиций?

б) Какова вероятность, что покупатель приобрел только декоративную косметику? (что это за комбинация событий А и В?)

в) Каков процент покупателей, приобретающих что-то другое?

(Вспомните диаграммы Эйлера-Венна)

Формула полной вероятности. Формула Байеса.