tvims

УДК - 519.2 ББК - 22.172

М- 936

Мхитарян В.С. Трошин Л.И Адамова Е.В. Шевченко К.К., Бамбаева Н.Я. Теория вероятностей и математическая статистика / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. - М.: 2003. - 148 с.

Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области статистики в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 061700 «Статистика» и другим экономическим специальностям.

©Мхитарян Владимир Сергеевич, 2003

©Трошин Лев Иванович, 2003

©Адамова Евгения Владимировна, 2003

©Шевченко Кармен Константиновна, 2003

©Бамбаева Наталья Яковлевна, 2003

©Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права, 2003

2

4

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1.Случайные события и вероятности

1.1.1. Случайные события

Одним из основных понятий теории вероятностей является случайное событие. Случайным событием называется событие, которое должно либо произойти, либо не произойти при выполнении некоторого комплекса условий.

В дальнейшем вместо “выполнение некоторого комплекса условий” и “случайное событие” будем употреблять выражения “произведено испытание”, “событие” и “результат испытания”.

Случайные события обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, ... Зафиксируем некоторое испытание, то есть комплекс условий, и будем рассматривать некоторую систему S событий A, B, C.

Укажем некоторые соотношения, которые могут существовать между событиями системы S.

1. Если в результате испытания при каждом появлении события A наступает событие B, то говорят, что A является частным случаем B, и записывают этот факт в виде

A B.

2.Если A B и B A, то A=B. События A и B называются равносильными, если при каждом испытании они оба наступают, либо не наступают.

3.Произведением событий A и B называется такое событие AB, которое заключается в совместном наступлении этих событий.

4.Суммой событий A и B называется такое событие A+B, которое заключается в наступлении по крайней мере одного из этих событий.

5.Событие U называется достоверным, если оно с необходимостью должно произойти при каждом испытании. Событие V называется невозможным, если оно не происходит ни при каком испытании. Все достоверные события равносильны, то же самое относится и к невозможным событиям.

6.Событие A называется противоположным событию A /и наоборот/, если для них одновременно выполняются неравенства

A + A =U ; AA = V.

7. События A и B называются несовместимыми, если их совместное наступление неосуществимо, т. е. если

AB=V.

8. События A1, A2, ... An образуют полную группу попарно несовместных событий, если события Ai и Aj при i≠j несовместимы и хотя бы одно из событий A1, A2, ... An непременно должно произойти.

5

Иными словами, полная группа попарно несовместных событий A1, A2,

... An удовлетворяют двум условиям: A1+A2+...+An=U /полная группа/ Ai Aj=V, i≠j /попарная несовместимость/

Введенные операции над событиями удовлетворяют следующим правилам:

а) A+B=B+A; A+V=A; A+U=U; A+A=A; б) AB=BA; AU=A; AV=V; A A=A;

в) (A+B)C=AC+BC.

Одним из наглядных представлений случайных событий и операций над ними являются так называемые диаграммы Виена. Пусть внутри квадрата, изображенного на рис. 1.1. наудачу выбирается точка, не лежащая ни на одной из нарисованных окружностей. Обозначим через A и B соответствующий выбор точки в левом и правом кругах. Области, заштрихованные на рис. 1.1. изображают соответственно события

A, A, B, B, A + B, AB. По диаграммам Виена легко проверяются правила сложения и умножения событий.

Рис. 1.1. Диаграмма Виенна

1.1.2. Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности исходит из некоторой системы равновозможных (равновероятных) событий, которые формально не определяются.

Рассмотрим полную группу попарно несовместных равновозможных событий E1, E2, ..., EN. Добавим к этим N невозможное событие V и сложные события, образованные с помощью операции сложения любого числа и любых номеров событий E1, E2, ..., EN. Полученная система событий называется полем событий S. Система S исчерпывается конечным числом событий, если считать равносильные события просто тождественно равными друг другу.

Пусть, например, полная группа попарно несовместимых равновозможных событий состоит из двух событий E1 и E2. Тогда система S содержит следующие четыре события: V, E1, E2, E1+E2=U. Если же полная группа попарно несовместимых равновозможных событий состоит из трех событий E1, E2, E3, то система S содержит восемь событий: V, E1, E2, E3, E1+E2, E1+E3, E2+E3, E1+E2+E3=U.

6

Назовем для краткости событие Ei (i=1,2, ... ,N) возможным случаем. Пусть событие A является некоторым событием системы S, тогда A представляется в виде суммы некоторых возможных случаев Ei. Слагаемые Ei, входящие в разложение A, назовем случаями, благоприпятствующими событию A, а их число обозначим буквой M.

Определение. Вероятность P(A) события A равняется отношению числа возможных случаев, благоприпятствующих событию A, к числу всех возможных случав, то есть

Из определения вероятности следует, что для вычисления P(A) требуется прежде всего выяснить, какие события в условиях данной задачи, являются возможными случаями, затем подсчитать число возможных случаев, благоприятствующих событию A, число всех возможных случаев и найти отношение числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных.

Пример 1.1. На семи карточках написаны: а, а, о, с, т, т, ч. Какова вероятность того, что при произвольном порядке расположения этих карточек в ряд будет составлено слово “частота”?

Решение. Нумеруем данные карточки. Возможными случаями считаются любые расположения этих карточек в ряд. Следовательно,

Благоприятствующими возможными случаями для события А, вероятность которого требуется найти, будут те перестановки, у которых на первом месте стоит буква “ч”, на втором - “а”, на третьем - “с”, на четвертом - “т”, на пятом - “с”, на шестом - “т” и на седьмом - “а”. На втором и седьмом местах буква “а” может появится 2! способами

появлению слова “частота” и отличающихся только номерами карточек с буквой “а”, будет 2!. То же самое можно сказать о букве “т”. Число перестановок, благоприятствующих появлению слова “частота” и отличающихся как номерами карточек с буквой “а”, так и номерами карточек с буквой “т”, будет равно 2! × 2!. Итак, число случаев, благоприятствующих событию А, равно М=2! × 2!. В результате получаем искомую вероятность:

P(A)= MN = 2!7!2! = 50404 = 12601 .

7

Пример 1.2. Известно, что среди 11 приборов имеется 3 непроверенных. Какова вероятность при случайном безвозвратном отборе 5 приборов обнаружить среди них 2 непроверенных.

Решение. Перенумеруем все 11 приборов. Возможными случаями будем считать соединения по пять приборов из 11, отличающихся только номерами приборов, входящих в каждое соединение. Отсюда следует, что число всех возможных случаев будет равно числу сочетаний из 11 элементов по 5 элементов:

учитываем, что 2 непроверенных из 3 непроверенных приборов можно извлечь С23 = 3 способами. Кроме того, 3 непроверенных прибора можно

следовательно, число возможных случаев М, благоприятствующих

Пример 1.3. В лифт восьмиэтажного дома вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любой из трех этажей, начиная с третьего. Найти вероятность того, что все пассажиры лифта выйдут на разных этажах.

Решение. Возможными случаями в данном примере считаются любые мыслимые распределения, отличающиеся не только количеством, но и индивидуальностью пассажиров лифта, выходящих на том или ином этаже. Так как любой человек может выйти на каждом из шести (от третьего до восьмого) этажей, всех возможных случаев будет N = 63 = 216. Для подсчета благоприятствующих случаев предположим сначала, что пассажиры выходят по одному на фиксированных этажах. Общее число таких случаев равно 3!. Теперь обратим внимание на тот факт, что общее число сочетаний из 6 этажей по три этажа равно

Рассмотрим некоторые свойства вероятностей, вытекающие из классического определения.

8

1. Вероятность достоверного события равна единице. Достоверное событие U обязательно происходит при испытании, поэтому все возможные случаи являются для него благоприятствующими и

P(U )= NN = 1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю. Число благоприятствующих случаев для невозможного события равна нулю

(М=0), поэтому P(V )= N0 = 0 .

3. Вероятность события есть число, заключенное между нулем и единицей.

В силу того, что дробь MN не может быть числом отрицательным и большим единицы, справедливо неравенство:

0≤ т(А)≤ 1.

1.1.3.Статистическое определение вероятности

Следует отметить, что классическое определение вероятности имеет существенный недостаток, заключающийся в том, что в практических задачах не всегда можно найти разумный способ выделения “равносильных случаев”. Например, затруднительно определить вероятность того, что ребенок, который должен родиться, окажется мальчиком, или определить вероятность брака в партии деталей. Из-за указанного недостатка наряду с классическим пользуются статистическим определением вероятности, опирающимся на понятие частоты (или частости).

Если классическое определение вероятности исходит из соображений равновозможности событий при некоторых испытаниях, то статистически вероятность определяется из опыта, наблюдения результатов испытания.

Назовем число m появления события А при n испытаниях

события.

Например, пусть испытание состоит в подбрасывании монеты, а событием является появление герба. Приведем результаты трех опытов, произведенных известными статистиками Бюффоном и К.Пирсоном.

9