Індивідуальне завдання №2
Варіант №1.
«Введення в математичний аналіз»
Тема: Системи координат. Границі. Графіки функцій.
1.
Побудувати графік функції шляхом
перетворення графіків основних
елементарних функцій
.
2.
Знайти область визначення заданої
функції
.
3. Знайти зазначені границі (не користуючись правилом Лопіталя):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4.
Задану функцію
дослідити на неперервність і з’ясувати
характер точок розриву. Зробити
схематичний рисунок.
«Диференціальне обчислення функцій однієї змінної»
Тема 1: Диференціювання функцій однієї змінної.
1.
Знайти першу похідну
даних функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
2.
Скласти рівняння нормалі до даної кривої
в точці з абсцисою
3.
Знайти диференціал
заданої
функції
.
4.
Знайти похідну
першого порядку від функції, заданої
параметрично.
Тема 2: Застосування похідних.
5. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.
;
6. Провести повне дослідження заданих функцій і побудувати їхні графіки.
1)
2)
7.
При підготовці до іспиту студент за
днів вивчає
-у
частину курсу і забуває
-у
частину. Скільки днів потрібно затратити
на підготовку, щоб була вивчена максимальна
частина курсу? Розв’язати задачу за
умови, що
.
8.
Об’єм продукції
(умов.
од.) цеху на протязі робочого дня є
функцією
,
де
– час (год.). Знайти продуктивність праці
через 2 години після початку роботи.
Індивідуальне завдання №2
Варіант №2
«Введення в математичний аналіз»
Тема: Системи координат. Границі. Графіки функцій.
1.
Побудувати графік функції шляхом
перетворення графіків основних
елементарних функцій
.
2.
Знайти область визначення заданої
функції
.
3. Знайти зазначені границі (не користуючись правилом Лопіталя):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4.
Задану функцію
дослідити на неперервність і з’ясувати
характер точок розриву. Зробити
схематичний рисунок.
«Диференціальне обчислення функцій однієї змінної»
Тема 1: Диференціювання функцій однієї змінної.
1.
Знайти першу похідну
даних функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
2.
Скласти рівняння дотичної до даної
кривої в точці з абсцисою
3. За допомогою диференціала обчислити значення функції в зазначеній точці.
4.
Знайти похідну
другого порядку від функції, заданої
параметрично.
Тема 2: Застосування похідних.
5. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.
;
.
6. Провести повне дослідження заданих функцій і побудувати їхні графіки.
1)
2)
7. З квадратного листа картону із сторонами 36 см вирізуються по кутах однакові квадрати і з частини, що залишилася, склеюється прямокутна коробка. Яка повинна бути сторона вирізаного квадрата, щоб об'єм коробки був найбільшим?
8. Знайти
висоту конуса найбільшого об'єму, який
можна вписати в кулю радіусу
.
Індивідуальне завдання №2
Варіант №3.
«Введення в математичний аналіз»
Тема: Системи координат. Границі. Графіки функцій.
1.
Побудувати графік функції шляхом
перетворення графіків основних
елементарних функцій
.
2.
Знайти область визначення заданої
функції
.
3. Знайти зазначені границі (не користуючись правилом Лопіталя):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4.
Задану функцію
дослідити на неперервність і з’ясувати
характер точок розриву. Зробити
схематичний рисунок.
«Диференціальне обчислення функцій однієї змінної»
Тема 1: Диференціювання функцій однієї змінної.
1.
Знайти першу похідну
даних функцій:
1)
2)
5)
6)
9)
2.
Скласти рівняння нормалі до даної кривої
в точці з абсцисою
3. За допомогою диференціала обчислити значення функції в зазначеній точці.
4.
Знайти похідну
першого порядку від функції, заданої
параметрично.
Тема 2: Застосування похідних.
5. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.
,
6. Провести повне дослідження заданих функцій і побудувати їхні графіки.
1)
2)
7.
Знайти радіус основи кругового циліндра
найбільшого об’єму, вписаного в сферу
радіуса
.
8. Вимагається виготовити ящик з кришкою, об'єм якого був би рівний 72 см 2, причому, сторони основи відносилися б, як 1:2. Яким повинні бути розміри всіх сторін, щоб повна поверхня була якнайменшою.
Індивідуальне завдання №2
Варіант №4.
«Введення в математичний аналіз»
Тема: Системи координат. Границі. Графіки функцій.
1.
Побудувати графік функції шляхом
перетворення графіків основних
елементарних функцій
.
2.
Знайти область визначення заданої
функції
.
3. Знайти зазначені границі (не користуючись правилом Лопіталя):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4.
Задану функцію
дослідити на неперервність і з’ясувати
характер точок розриву. Зробити
схематичний рисунок.
«Диференціальне обчислення функцій однієї змінної»
Тема 1: Диференціювання функцій однієї змінної.
1.
Знайти першу похідну
даних функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
2.
Скласти рівняння дотичної до даної
кривої в точці з абсцисою
3. За допомогою диференціала обчислити значення функції в зазначеній точці.
4.
Знайти похідну
другого порядку від функції, заданої
параметрично.
Тема 2: Застосування похідних.
5. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.
;
6. Провести повне дослідження заданих функцій і побудувати їхні графіки.
1)
2)
7.
При підготовці до іспиту студент за
днів вивчає
-у
частину курсу і забуває
-у частину. Скільки днів потрібно
затратити на підготовку, щоб була вивчена
максимальна частина курсу? Розв’язати
задачу за умови, що
.
8. На
осі параболи
дана точка на
відстані
від
вершини.
Вказати
абсцису
найближчої
до неї
точки кривої.
Індивідуальне завдання №2
Варіант №5.
«Введення в математичний аналіз»
Тема: Системи координат. Границі. Графіки функцій.
1.
Побудувати графік функції шляхом
перетворення графіків основних
елементарних функцій
.
2.
Знайти область визначення заданої
функції
.
3. Знайти зазначені границі (не користуючись правилом Лопіталя):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4.
Задану функцію
дослідити на неперервність і з’ясувати
характер точок розриву. Зробити
схематичний рисунок.
«Диференціальне обчислення функцій однієї змінної»
Тема 1: Диференціювання функцій однієї змінної.
1.
Знайти першу похідну
даних функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
2.
Скласти рівняння нормалі до даної кривої
в точці з абсцисою
3.
Знайти диференціал
заданої функції. 
4.
Знайти похідну
першого порядку від функції, заданої
параметрично.
Тема 2: Застосування похідних.
5. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.
;
6. Провести повне дослідження заданих функцій і побудувати їхні графіки.
1)
2)
7.
Провести
нормаль до лінії
паралельно
прямої
.
8.
Відкритий чан має форму циліндра. При
даному об'ємі
якими повинні бути радіус основи і
висота циліндра, щоб його поверхня була
якнайменшою?
Індивідуальне завдання №2
Варіант №6.
«Введення в математичний аналіз»
Тема: Системи координат. Границі. Графіки функцій.
1.
Побудувати графік функції шляхом
перетворення графіків основних
елементарних функцій
.
2.
Знайти область визначення заданої
функції
.
3. Знайти зазначені границі (не користуючись правилом Лопіталя):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4. Задану
функцію
дослідити на неперервність і з’ясувати
характер точок розриву. Зробити
схематичний рисунок.
«Диференціальне обчислення функцій однієї змінної»
Тема 1: Диференціювання функцій однієї змінної.
1.
Знайти першу похідну
даних функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
2.
Скласти рівняння дотичної до даної
кривої в точці з абсцисою
3. За допомогою диференціала обчислити значення функції в зазначеній точці.
4.
Знайти похідну
другого порядку від функції, заданої
параметрично.
Тема 2: Застосування похідних.
5. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.
;
6. Провести повне дослідження заданих функцій і побудувати їхні графіки.
1)
2)
7.
Визначити
кути, під якими перетинаються лінії
і
.
8. Число 36 розкласти на два такі множники, щоб сума їх квадратів була якнайменшою.
Індивідуальне завдання №2
Варіант №7.
«Введення в математичний аналіз»
Тема: Системи координат. Границі. Графіки функцій.
1.
Побудувати графік функції шляхом
перетворення графіків основних
елементарних функцій
2. Знайти
область визначення заданої функції
.
3. Знайти зазначені границі (не користуючись правилом Лопіталя):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4.
Задану функцію
дослідити на неперервність і з’ясувати
характер точок розриву. Зробити
схематичний рисунок.
«Диференціальне обчислення функцій однієї змінної»
Тема 1: Диференціювання функцій однієї змінної.
1.
Знайти першу похідну
даних функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
2.
Скласти рівняння нормалі до даної кривої
в точці з абсцисою
3. Знайти
диференціал
заданої функції
.
4. Знайти
похідну
першого порядку від функції, заданої
параметрично.
Тема 2: Застосування похідних.
5. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.
;
6. Провести повне дослідження заданих функцій і побудувати їхні графіки.
1)
2)
7.
Показати,
що зі всіх трикутників даного периметра
,
які можна побудувати на одній і тій же
основі, найбільшу площу має рівнобедрений
трикутник.
8. Скласти
рівняння дотичних до лінії
,
паралельних
прямій
.
Індивідуальне завдання №2
Варіант №8.
«Введення в математичний аналіз»
Тема: Системи координат. Границі. Графіки функцій.
1.
Побудувати графік функції шляхом
перетворення графіків основних
елементарних функцій
.
2.
Знайти область визначення заданої
функції
.
3. Знайти зазначені границі (не користуючись правилом Лопіталя):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4.
Задану функцію
дослідити на неперервність і з’ясувати
характер точок розриву. Зробити
схематичний рисунок.
«Диференціальне обчислення функцій однієї змінної»
Тема 1: Диференціювання функцій однієї змінної.
1.
Знайти першу похідну
даних функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
2.
Скласти рівняння дотичної до даної
кривої в точці з абсцисою
3. За допомогою диференціала обчислити значення функції в зазначеній точці.
4.
Знайти похідну
другого порядку від функції, заданої
параметрично.
Тема 2: Застосування похідних.
5. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.
;
6. Провести повне дослідження заданих функцій і побудувати їхні графіки.
1)
2)
7. Вимагається виготовити ящик з кришкою, об'єм якого був би рівний 64 см 2, причому, сторони основи відносилися б, як 1:3. Яким повинні бути розміри всіх сторін, щоб повна поверхня була якнайбільшою.
8.
Залежність між витратами виробництва
(грошові одиниці) та об’ємом продукції
(одиниці), яка виробляється, задається
функцією
.
Визначити середні та граничні витрати
при об’єму продукції, рівному 5 одиниць.
Індивідуальне завдання №2
Варіант №9.
«Введення в математичний аналіз»
Тема: Системи координат. Границі. Графіки функцій.
1.
Побудувати графік функції шляхом
перетворення графіків основних
елементарних функцій
.
2. Знайти
область визначення заданої функції
.
3. Знайти зазначені границі (не користуючись правилом Лопіталя):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4.
Задану функцію
дослідити на неперервність і з’ясувати
характер точок розриву. Зробити
схематичний рисунок.
«Диференціальне обчислення функцій однієї змінної»
Тема 1: Диференціювання функцій однієї змінної.
1.
Знайти першу похідну
даних функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
2. Скласти
рівняння нормалі до даної кривої в точці
з абсцисою
3. Знайти
диференціал
заданої функції
.
4. Знайти
похідну
першого порядку від функції, заданої
параметрично.
Тема 2: Застосування похідних.
5. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.
;
6. Провести повне дослідження заданих функцій і побудувати їхні графіки.
1)
2)
7. Скласти
рівняння дотичній до лінії
,
перпендикулярної
до прямої
8. Провести
дотичну до гіперболи
так,
щоб вона пройшла через початок координат.
Індивідуальне завдання №2
Варіант №10.
«Введення в математичний аналіз»
Тема: Системи координат. Границі. Графіки функцій.
1.
Побудувати графік функції шляхом
перетворення графіків основних
елементарних функцій
.
2.
Знайти область визначення заданої
функції
.
3. Знайти зазначені границі (не користуючись правилом Лопіталя):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4.
Задану функцію
дослідити на неперервність і з’ясувати
характер точок розриву. Зробити
схематичний рисунок.
«Диференціальне обчислення функцій однієї змінної»
Тема 1: Диференціювання функцій однієї змінної.
1. Знайти
першу похідну
даних функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
2.
Скласти рівняння дотичної до даної
кривої в точці з абсцисою
3. За допомогою диференціала обчислити значення функції в зазначеній точці.
4. Знайти
похідну
другого порядку від функції, заданої
параметрично.
Тема 2: Застосування похідних.
5. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.
;
6. Провести повне дослідження заданих функцій і побудувати їхні графіки.
1)
2)
7. Визначити, які повинні бути розміри відкритого резервуару заданої ємності в 256 м3, щоб на обшивку його стін і дна пішла якнайменша кількість матеріалу, якщо резервуар повинен мати форму прямокутного паралелепіпеда з квадратним дном.
8. Прямокутний трикутник, обертаючись навкруги одного з своїх катетів, утворює конус. Знайти об'єм найбільшого з них, якщо гіпотенуза рівна 3см.
Індивідуальне завдання №2
Варіант №11.
«Введення в математичний аналіз»
Тема: Системи координат. Границі. Графіки функцій.
1.
Побудувати графік функції шляхом
перетворення графіків основних
елементарних функцій
.
2.
Знайти область визначення заданої
функції
.
3. Знайти зазначені границі (не користуючись правилом Лопіталя):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4.
Задану функцію
дослідити на неперервність і з’ясувати
характер точок розриву. Зробити
схематичний рисунок.
«Диференціальне обчислення функцій однієї змінної»
Тема 1: Диференціювання функцій однієї змінної.
1.
Знайти першу похідну
даних функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
2.
Скласти рівняння дотичної до даної
кривої в точці з абсцисою
3. За допомогою диференціала обчислити значення функції в зазначеній точці.
4.
Знайти похідну
другого порядку від функції, заданої
параметрично.
Тема 2: Застосування похідних.
5. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.
;
6. Провести повне дослідження заданих функцій і побудувати їхні графіки.
1)
2)
7.
Скласти
рівняння дотичній до лінії
,
перпендикулярної
до прямої
8. Число 8 розбити на два таких складових, щоб сума їх кубів була якнайменшою.
Індивідуальне завдання №2
Варіант №12
«Введення в математичний аналіз»
Тема: Системи координат. Границі. Графіки функцій.
1.
Побудувати графік функції шляхом
перетворення графіків основних
елементарних функцій
.
2.
Знайти область визначення заданої
функції
.
3. Знайти зазначені границі (не користуючись правилом Лопіталя):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4.
Задану функцію
дослідити на неперервність і з’ясувати
характер точок розриву. Зробити
схематичний рисунок.
«Диференціальне обчислення функцій однієї змінної»
Тема 1: Диференціювання функцій однієї змінної.
1.
Знайти першу похідну
даних функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
2.
Скласти рівняння нормалі до даної кривої
в точці з абсцисою
3.
Знайти диференціал
заданої
функції
.
4.
Знайти похідну
першого порядку від функції, заданої
параметрично.
Тема 2: Застосування похідних.
5. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.
;
6. Провести повне дослідження заданих функцій і побудувати їхні графіки.
1)
2)
7.
Серед усіх рівнобедрених трикутників,
вписаних в даний круг радіуса
,
знайти трикутник з найбільшим периметром.
8. Скласти
рівняння нормалі до параболи
,
перпендикулярної
до прямої, яка з’єднує початок координат
з вершиною параболи.