1. Нелинейное программирование (нлп)

Тема 1. Геометрическое решение задач нлп

На заданном множестве Х найти экстремумы заданных функций f(x).

1. X: .

a) ,

b) ,

c) .

2. X: , .

a) , b) .

3. X: . a) ,

b) ,

4. X: . .

5. X: , . .

6. X: , , . .

7. X: . .

Тема 2. Выпуклые и вогнутые функции.

На заданном множестве Х исследовать функции на выпуклость.

1. , X= R².

2. , X = R² .

3. , X: .

4. , X = R³ .

5. , X:

6. , X = R² .

Тема 3. Безусловный экстремум (Задачи без ограничений)

Найти точки экстремума следующих функций и определить их характер.

1. .

2.

3.

4.

5.

6. Фирма производит моторные масла марок А и В. Цена, по которой фирма реализует произведенную продукцию, зависит от объема ее выпуска.

7. Пусть x₁ – ежедневный выпуск масла А, x₂ – ежедневный выпуск масла В. Тогда цена за одну тонну А равна 80 –3x₁, а цена за тонну масла В равна 60 – 2x₂ . Ежедневные издержки производства равны 20x₁ + 12x₂ . Сколько тонн масел А и В надо производить в сутки, чтобы прибыль от реализации продукции была максимальной?

Тема 4. Условный экстремум. (задачи с ограничениями в форме равенств)

Найти точки условного экстремума следующих функций.

1. → extr, при условии .

2. → extr, при условии .

3. → extr, при условии .

4. → extr, при условии .

5. Среди всех прямоугольников заданного периметра найти прямоугольник наибольшей площади.

6. Предположим, что в задаче 7 из темы 3 появилось дополнительное условие:

В результате нефтяного кризиса поставки нефти ограничиваются объемом 24 т. в сутки. Как изменится оптимальный план выпуска продукции, если на производство одной тонны масла любой марки идет 2 т. нефти?

7. Инвестор собирается вложить в три проекта 29 млд. руб. Ожидаемый доход составляет - от инвестиций в первый проект, - от инвестиций во второй проект и - от инвестиций в третий проект. Как распределить средства между проектами, чтобы ожидаемый суммарный доход был максимальным?

8. Фирма должна проложить оптоволоконный кабель от пункта А до пункта В, расположенного на противоположном берегу канала на расстоянии 200 м, если мерить вдоль берега. Ширина канала равна 15 м. Определите наиболее дешевый маршрут прокладки кабеля, если прокладка 1 м. кабеля под каналом стоит 80 долл., а 1 м. кабеля вдоль берега – 40 долл.

7