Задачи и упражнения по курсу математика: экономико-математические методы

Часть 1. Линейное программирование (лп)

Тема 1. Построение моделей. Геометрическое решение

Построить математические модели следующих задач и решить их геометрически.

1. Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства 1–ой линии – 60 изделий, второй линии – 75 изделий. На радиоприемник 1–ой модели расходуется 10 однотипных  электронных схем, на радиоприемник 2–ой модели – 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых схем равен 800 единицам. Прибыли от реализации одного радиоприемника 1 и 2 моделей равны 3 и 2 долларам соответственно. Определить оптимальные суточные объемы производства 1 и 2 моделей приемников по двум разным критериям       а) максимизация прибыли,      б) максимизация выпуска товарной продукции.

2. Цех производит изделия А и Б. За смену не может использоваться более 540 ед. оборудования, более 550 ед. сырья и более 450 ед. электроэнергии. Расход ресурсов на одно изделие указан в таблице. От реализации изделия А прибыль составляет 80 ден.ед., изделия Б – 70 ден.ед. Каков должен быть минимальный выпуск продукции, чтобы обеспечить прибыль не менее 2800 ден.ед.?

Ресурсы	Изделия
	А	Б
Оборудование	2	3
Сырье	1	4
Электроэнергия	2	1,5

       

3. Средства банка составляют 100 млн долл. Часть их, но не менее 35 млн долл. должна быть размещена в кредитах. Ценные бумаги должны составлять не менее 40% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах, но при этом банк собирается потратить на ценные бумаги не более 30 млн долл. Сколько средств банк должен вложить в кредиты и ценные бумаги для максимизации ожидаемой прибыли, если доходность кредитов равна 0,15, а доходность ценных бумаг – 0,1 ?

4. Требуется загрузить теплоход апельсинами и лимонами так, чтобы стоимость груза была максимальной. При этом известно, что объем грузового отсека теплохода составляет 1000 м³; картонные коробки, в которых перевозятся апельсины и лимоны, имеют стандартные размеры: 50´50´40 см³; стоимость одной коробки с апельсинами равна $45; с лимонами – $60. Потребитель данной продукции заинтересован, чтобы апельсинов по сравнению с лимонами было доставлено больше, по крайней мере, в 1,5 раза.

5. Финансовая компания покупает акции двух акционерных обществ А и В, для чего решено затратить до $930. Акции А стоят $27, В – $23. Необходимо закупить максимально возможное суммарное число акций. При этом число акций В не должно превышать число акций А более, чем на 10. Сколько акций обоих обществ следует закупить при указанных условиях?

6. Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио– и телевизионную сети. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены величиной 1000 долл. в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 5 долл., а каждая минута телерекламы – в 100 долл. Фирма хотела бы использовать радиосеть по крайней мере в два раза чаще, чем сеть телевидения. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определите оптимальное распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на радио – и телерекламу.

7. Из одного города в другой ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. В таблице указаны: состав поезда каждого типа, количество имеющихся в парке вагонов различных видов для формирования поездов и максимальное число пассажиров, на которое рассчитан вагон каждого вида.

Поезда	Вагоны
	багажный	почтовый	плацкартный	купейный	мягкий
Скорый Пассажирский Число пассажиров Парк вагонов	1 1 – 12	1 – – 8	5 8 54 81	6 4 36 70	3 1 28 26

Определить число скорых и пассажирских поездов, которые необходимо сформировать ежедневно из имеющегося парка вагонов, чтобы число перевозимых пассажиров было максимально.

Для геометрического решения свести задачи к задачам с 2 переменными.

8. Турфирма организует чартерный тур на курорт. В стоимость путевки входят стоимость авиаперелета "туда и обратно", плата за проживание в отеле, питание и экскурсии. В зависимости от предоставляемого сервиса туры подразделяются на три категории: А – люкс, В – стандарт и С – экономический. Цены путевок и издержки фирмы на одного клиента приведены в таблице.

Категория тура	Цена путевки (долл.)	Стоимость номера в отеле (долл.)	Питание и услуги (долл.)
А	1000	300	475
В	700	220	250
С	650	190	220

Фирме требуется решить, какое количество путевок каждой из категорий предложить клиентам с тем, чтобы максимизировать свою прибыль. При этом нужно учитывать следующее:

– фрахт самолета обходится в фирме в 20000 долл.; – планируется реализовать ровно 200 путевок; – путевок категории А должно быть не менее 10%; – путевок категории В должно быть не менее 35% но не более 70%; – путевок категории С должно быть не менее 30%; – администрация отеля поставила условие – не менее 120 путевок должны быть категории А и В.

9. Фермер владеет 100 акрами земли, на которых планирует вырастить урожай трех зерновых культур А, В и С. Для засева одного акра требуется зерна А на сумму $40, В – на сумму $20  и  С – на сумму $30.Фермер располагает средствами в размере $3200. Для сбора урожая необходимо затратить по 1 рабочему дню на уборку с одного акра культур  А и С и 2 рабочих дня на  уборку с одного акра культуры В, но фермер может работать на уборке урожая не более 160 дней. Фермер планирует продать урожай зерна А, собранного с 1 акра за $140, зерна В – за $320 и зерна С – за $230.         Сколько акров земли должен отвести фермер под каждую культуру, чтобы после реализации урожая получить максимальную прибыль? Фермер собирается засеять все 100 акров.

10. Клиент инвестиционной фирмы подал заявку на формирование портфеля акций на сумму 100 000 руб. Портфель должен включать акции трех компаний, характеристики которых приведены в таблице

Компания	Цена акции (руб.)	Ожидаемый доход с акции (руб.)	Максимальный объем инвестиций (руб.)
А	60	7	60 000
В	25	3	25 000
С	20	3	30 000

Сколько акций каждой компании должна приобрести фирма для своего клиента, чтобы максимизировать ожидаемый общий доход.

11. Фирма собирается производить новый лосьон после бритья, качество которого оценивается по трем показателям:

1. очищающие свойства; 2. дезинфицирующие свойства; 3. раздражающее воздействие на кожу.

Каждый из этих показателей измеряется по линейной шкале от 0 до 100 единиц. Лосьон должен иметь по крайней мере по 60 единиц очищающих и дезинфицирующих свойств и при этом раздражающее воздействие на кожу должно быть минимально. Продукт является смесью трех компонентов A, B, C, характеристики которых приведены ниже:

Компонент	Очищающие свойства	Дезинфицирующие свойства	Раздражающее воздействие
А	90	30	70
В	65	85	50
С	45	70	10

Найти оптимальную смесь.