Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»

Методические пособия к решению задач по курсу

«Электрическтво и магнетизм»

II семестр д/о

Составил: Конев Юрий Борисович

Москва 2002

Закон Кулона, теорема Гаусса и теорема о циркуляции для электрического поля. Потенциал электрического поля.

Закон Кулона: сила взаимодействия F между точечными электрическими зарядами пропорциональна величинам зарядов q₁ и q₂ и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними.

Коэффициент пропорциональности k зависит от системы единиц. В системе единиц СИ k=1/4πε₀ , ε₀ = 8.85 10 ^–12 Ф/м . Сила взаимодействия направлена вдоль прямой, соединяющей заряды, причем заряды одинаковых знаков отталкиваются друг от друга, а противоположных знаков – притягиваются друг к другу. Заряды можно считать точечными, если их размеры значительно меньше расстояния между ними.

Напряженностью электрического поля называют отношение силы к величине заряда. Для точечного заряда q

Опыт показывает, что для электрического поля имеет место принцип суперпозиции: если имеется несколько зарядов q_i , каждый из которых создает поле напряженностью , то напряженность результирующнго поля равна сумме напряженностей полей каждого из зарядов .

Поле точечного диполя. Электрическим диполем называют два равных по величине, но противоположных по знаку, точечных заряда q и –q, расположенных на расстоянии d друг от друга. Дипольным моментом диполя называют вектор , где вектор проведен от отрицательного заряда к положительному. На расстояниях r>>d диполь можно считать точечным. Напряженность поля точечного диполя имеет две проекции – на ось в направлении дипольного момента и на любую ось в направлении перпендикуляра к дипольному моменту , θ – угол между направлением дипольного момента и направлением на точку наблюдения.

Пусть дана кривая поверхность S, в каждой точке которой проведена малый участок касательной плоскости площадью dS и перпендикуляр к этой плоскости – нормаль . Потоком вектора через площадку dS называют величину , где E_n – проекция вектора на направление нормали. Для электрических полей имеет место теорема Гаусса: для любой замкнутой поверхности S полный поток вектора напряженности электрического поля

,

где q – полный заряд, находящийся внутри поверхности S, причем за положительное принято направление внешней нормали поверхности. При доказательстве теоремы Гаусса в математике ключевым моментом является следующая из закона Кулона зависимость напряженности поля точечного заряда обратно пропорционально квадрату расстояния от него.

Пусть в пространстве проведена произвольная замкнутая кривая L, в каждой точке которой проведена касательная к кривой и определен дифференциал длины кривой dl. Тогда можно определить проекцию вектора на направление касательной E_l. Циркуляцией вектора вдоль замкнутой кривой называют величину . Для электрического поля имеет место теорема о циркуляции:

Поля, для которых имеет место теорема о циркуляции, называют потенциальными. Электрическое поле потенциально. Отношение работы, совершаемой против силы электрического поля при перемещении заряда q из начальной точки А в конечную точку Х, к величине заряда в потенциальном поле не зависит от формы пути и называется разностью потенциалов φ₂-φ₁ электрического поля

Полагая потенциал бесконечно удаленной точки равным нулю, можно определить потенциал точечного заряда:

Зная потенциал, можно найти проекции напряженности поля на оси прямоугольной системы координат: , , . Здесь дифференцирование по координате, например x, выполняется при постоянных двух других координатах.

Задачи

1. Определить силу кулоновского притяжения электрона водородного атома к его ядру, если диаметр атома водорода порядка 2 10^-8 см. Сравнить ее с силой гравитационного притяжения.

Решение

Атом водорода представляет собой систему из двух зарядов – положительно заряженного протона и вращающегося вокруг него электрона. Заряды протона и электрона по абсолютной величине одинаковы и равны е=1.6 10 ^–19 Кл. Расстояние между зарядами порядка половины диаметра атома а=d/2=10 ^–10 м. Сила кулоновского притяжения

=2.3 10^-8 Н

Сила гравитащионого притяжения электрона к протону (масса электрона m=9.1 10 ^–31 кг, масса протона M= 1.67 10 ^–27 кг, гравитационня постоянная G = 6.67 10^-11 Н м²/кг²)

=1 10 ^–47 Н

Кулоновсая сила в 2.3 10³⁹ раз больше гравитационной силы.

2. Молекула воды Н₂О имеет постоянный дипольный момент р=6.2 10 ^–30 Кл м, направленный от центра иона О^2- к середине прямой, соединяющей центры ионов Н⁺ . Определить силу взаимодействия молекулы воды и электрона, если расстояние между ними r=10 нм и дипольный момент молекулы направлен вдоль соединяющей их прямой.

Решение

Угол между направлением дипольного момента и направлением на точку наблюдения θ=0. Поэтому в точке нахождения электрона напряженность поля диполя направлена по оси диполя, E=E_//=2p/r³. Сила, действующая на электрон, F=eE=2pe/r³ = 2 10 ^–24 Н.

3. Тонкий стержень длиной L =20 см заряжен равномерно зарядом q=10 ^–9 Кл. Определить напряженность электрического поля в т. А, находящейся на расстоянии r=10 см от центра стержня О (прямая АО перпендикулярна стержню). Исследовать зависимость напряженности от расстояния r для случаев r>>L и r<<L.

Решение.

Пусть X - точка на стержне с координатой х, отсчитываемой от центра вдоль стержня, θ – угол между прямыми АХ и АО. В силу симметрии относительно прямой АО напряженность поля на прямой АО направлена параллельно этой прямой, т.е. E=E_//. Т.к. стержень заряжен равномерно, на отрезок длиной dx приходится заряд dq=qdx/L. Этот заряд создает в точке А составляющую поля dE_//=(kdq/(r²+x²)cos θ= krdq/(r²+x²)^3/2. Тогда

E=E_//=(kqr/L) =(kqr/L)(L/r²/(r²+L²/4)^1/2=(kq/r)/(r²+L²/4)^1/2

При L=0.2 м, r=0.1 м и q=10 ^–9 Кл E=636 В/м.

Если r<<L, то E=2kq/Lr, если r<<L, то E=kq/r².

4. Сферический конденсатор образован двумя концентрическими проводящими сферами радиусов R₁ и R₂ (R₁ < R₂). Внутренней сфере сообщают заряд q, а внешней –q. Определить напряженность электрического поля в конденсаторе в зависимости от расстояния r от общего центра сфер и построить график этой зависимости.

Решение

Вследствие сферической симметрии у вектора напряженности поля отлична от нуля только проекция на ось, проведенную из центра сфер О. Выбирая в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r с центром в точке О, применим к этой сфере теорему Гаусса. Так как напряженность поля перпендикулярна этой сфере, поток вектора напряженности через эту сферу равен 4πr²E(r). Если r> R₂ или r< R₁, то полный заряд внутри сферы равен нулю, если R₁<r< R₂ то полный заряд равен q. Поэтому E(r )=kq/r², если R₁<r< R₂ и E(r )=0 при r> R₂ или r< R₁.

5. Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью заряда ρ. Определить напряженность электрического поля в зависимости от расстояния r от центра шара и построить график этой зависимости.

Решение

Вследствие сферической симметрии у вектора напряженности поля отлична от нуля только проекция на ось, проведенную из центра шара О. Выбирая в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r с центром в точке О, применим к этой сфере теорему Гаусса. Так как напряженность поля перпендикулярна этой сфере, поток вектора напряженности через эту сферу равен 4πr²E(r). Если r> R, то полный заряд внутри сферы равен q=(4πR³/3)ρ, и E(r )=kq/r², если r> R . Если r< R, то заряд внутри сферы q=(4πr³/3)ρ, и E(r )=kqr/R³.

6. Сфера радиуса R равномерно по поверхности заряжена зарядом q. Определить напряженность и потенциал электрического поля в зависимости от расстояния r от центра шара и построить график этих зависимостей. Потенциал бесконечно удаленнойточки принять равным нулю.

Решение

Вследствие сферической симметрии у вектора напряженности поля отлична от нуля только проекция на ось, проведенную из центра шара О. Выбирая в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r с центром в точке О, применим к этой сфере теорему Гаусса. Так как напряженность поля перпендикулярна этой сфере, поток вектора напряженности через эту сферу равен 4πr²E(r). Если r> R, то полный заряд внутри сферы равен q. Тогда E(r)=kq/r², φ(r)= kq/r, если r> R . Если r< R, то заряд внутри сферы q=0, и E(r )=0, φ(r)= kq/R=const.

7. Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью заряда ρ. Определить разность потенциалов между точкой О в центре шара и точкой А на расстоянии 2R от центра.