1.2. Соотношения на разрыве

В этом параграфе рассмотрим соотношения на скачке, ударную адиабату и получим выражение для скорости ударной волны.

1.2.1. Соотношения на разрыве в подвижной и неподвижной системе координат

На разрыве параметры среды изменяются скачком. Поэтому вместо дифференциальных уравнений сохранения необходимо использовать алгебраические соотношения.

В подвижной системе координат, связанной со скачком, соотношения на разрыве (соотношения Рэнкина (Rankine) - Гюгонио (Hugoniot)) имеют вид:

(2.1.1)

Здесь – удельная энтальпия среды, – удельная внутренняя энергия. Индексы 0 и 1 обозначают параметры среды до и после разрыва соответственно.

В неподвижной системе координат необходимо учесть, что скачок движется со скоростью , а среда – со скоростью (). Тогда скорость среды в подвижной системе координат связана с и соотношением

или . (2.1.2)

Если среда до скачка покоилась , то . С учетом (2.1.2) соотношения Рэнкина - Гюгонио (2.1.1) в неподвижной системе координат примут вид:

(2.1.3)

При записи уравнения сохранения импульса было использовано уравнение сохранения массы, с помощью которого были проведены следующие преобразования:

Достоинством записи уравнения сохранения импульса в такой форме является то, что скорость разрыва стоит в первой степени.

Уравнение сохранения импульса на скачке принимает особенно простой вид, если до скачка среда покоилась :

. (2.1.4)

1.2.2. Адиабата. Ударная адиабата

Адиабатой называется линия на термодинамической диаграмме состояния, изображающая равновесный адиабатический процесс. В таких процессах отсутствует внешний теплообмен и энтропия сохраняется постоянной.

Уравнение адиабаты для совершенного газа имеет вид

или , (2.2.1)

где . Ему соответствует кривая, называемая адиабатой Пуассона (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Отметим, что в адиабатическом процессе при переходе из начального состояния А в конечное B система последовательно проходит все промежуточные состояния, определяемые уравнением адиабаты (2.2.1).

Теперь получим уравнение ударной адиабаты для совершенного газа. Используя выражение для энтальпии

, (2.2.2)

термическое уравнение состояния и определение показателя адиабаты, найдем, что

. (2.2.3)

Для ударно-волнового процесса на диаграмме можно построить линию, исходящую из начального состояния газа перед ударной волной и состоящую из точек, соответствующих всевозможным состояниям газа за ударными волнами. По аналогии с адиабатой ее называют ударной адиабатой. Для получения уравнения ударной адиабаты, связывающего значения давления и плотности до и после скачка, используем соотношения на разрыве в подвижной системе координат (2.1.1). При выводе опустим индекс 1, относящийся к значениям параметров за разрывом. Третье уравнение (2.1.1) перепишем, используя (2.2.3) и , в виде

, (2.2.4)

а первое уравнение (2.1.1)- в виде

. (2.2.5)

Тогда второе уравнение (2.1.1) с учетом (2.2.5) примет вид

, (2.2.6)

или, выражая через , его можно переписать так:

. (2.2.7)

С учетом (2.2.6), (2.2.7) и найдем

(2.2.8)

Приравнивая правые части (2.2.4) и (2.2.8), получим

.

Введем безразмерные параметры и т.д. Тогда получим

. (2.2.9)

Собирая члены, содержащие , получим уравнение ударной адиабаты (адиабаты Гюгонио)

. (2.2.10)

Аналогично, собирая в (2.2.9) члены при , найдем

. (2.2.11)

В размерной форме уравнение ударной адиабаты имеет вид (см. рис. 3.2):

, (2.2.12)

.

Рассмотрим асимптотики параметров газа за скачком. При очень больших перепадах давления

: . (2.2.13)

Следовательно, в ударной волне сжать газ можно только до определенного значения. Например, воздух () в ударной волне можно сжать не более чем в 6 раз.

В отличие от адиабаты Пуассона, ударная адиабата – это геометрическое место точек, соответствующих возможным состояниям газа за ударными волнами. Процесс изменения параметров газа при переходе через разрыв идет так, что из начального состояния газ мгновенно переходит в конечное состояние , не проходя последовательно промежуточные точки кривой (см. стрелку на рис. 1.5).

Рис. 1.5 1 - адиабата Пуассона, 2 - ударная адиабата (стрелкой показан переход из начального состояния в конечное)

В начальной точке касательные к адиабатам Пуассона и Гюгонио совпадают, в чем легко убедиться непосредственным дифференцированием уравнений этих адиабат:

.

Поэтому для слабых волн вместо адиабаты Гюгонио можно использовать адиабату Пуассона.

Пусть за первой ударной волной идет вторая ударная волна. Чтобы построить ударную адиабату для второй волны, нужно за начальное состояние взять точку на первой ударной адиабате (линия 1 на Рис.1.6), соответствующую состоянию газа за первой волной. Поэтому вторая ударная адиабата (линия 2 на рис. 1.6.) не будет совпадать с ударной адиабатой для первой волны.

Заметим, что энтропия газа после ударной волны больше, чем до нее, т.е. энтропия в ударной волне возрастает. Ударные волны могут использоваться для быстрой диссипации механической энергии.

Скачки разрежения в совершенном газе невозможны. Это утверждение (теорема Цемплена) доказывается в газовой динамике.

Рис. 1.6.