- •1.1.1 Проекции параллельные
- •1.1.2. Проекции параллельные
- •Метод Монжа
- •Лекция 2.
- •2.1 Точка в системе двух взаимно перпендикулярных (ортогональных) плоскостей проекций π1 , π2
- •2.2 Точка в системе трех взаимно перпендикулярных (ортогональных) плоскостей проекций π1, π2, π3
- •2.3 Ортогональные проекции и система
- •2.4 Проекции отрезка прямой линии
- •2.4.1 Параметры отрезка прямой линии
- •2.4.1.1 Определение параметров отрезка прямой линии общего положения
- •2.4.1.2 Определение параметров отрезка прямых линий частного положения, а именно, линий уровня (рис.20).
- •2.5 Взаимное положение прямых линий
- •2.5.1 Параллельные прямые
- •2.5.1.1 Модель ортогонального проецирования параллельных прямых (рис.21)
- •2.5.1.2 Чертежи ортогонального проецирования параллельных прямых (рис.22)
- •2.5.2 Пересекающиеся прямые
- •2.5.2.1 Модель ортогонального проецирования пересекающихся прямых (рис.23)
- •2.5.2.2 Чертежи ортогонального проецирования параллельных прямых (рис.24)
- •2.5.3 Скрещивающиеся прямые
- •2.5.3.1 Модель ортогонального проецирования скрещивающихся прямых (рис.25)
- •2.5.2.2 Чертежи ортогонального проецирования скрещивающихся прямых (рис.26)
- •2.5.4 Проецирование плоских углов
- •2.5.5 Следы прямых
- •2.5.5.1 Обозначение следов прямых на чертежах
- •2.5.5.2 Построение следов прямых на чертежах
- •2.5.5.2.1 Модель построения следов прямой общего положения (рис.29)
- •2.5.5.2.2 Построения следов прямой общего на чертеже в трех проекциях (рис.30)
- •2.5.5.2.3 Построение следов линий уровня
- •2.5.5.2.4 Построение следов проецирующих прямых
- •2.5.5.2.5 Построение следов прямых, которые пересекают одну из осей проекций
כМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Московский государственный институт
электроники и математики
(технический университет)»
Кафедра инженерной
и машинной графики
ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
Элементы начертательной геометрии
1 – я часть
Точка, прямая, плоскость
Методические указания по курсу
«Инженерная и компьютерная графика»
Москва 2011
Разработчики:
канд.техн.наук, проф. А.А. Пузиков
канд.физ.-мат.наук, доц.Д.А. Пяткина
УДК 744
Инженерная и компьютерная графика, элементы начертательной геометрии, 1 часть, точка, прямая, плоскость: Метод. указания по курсу «Инженерная и компьютерная графика»/ Московский государственный ин-т электроники и математики(технический университет.
Разработчики:
А.А.Пузиков, Д.А.Пяткина. –28с.
Ил.35. Библиогр.: 5 назв.
Указания содержат теоретический материал и упражнения по первой части курса, необходимые для практических занятий и выполнения домашней работы согласно учебных планов и рабочих программ. Предназначены для студентов, обучающихся на I курсе по инженерным специальностям, а также для студентов I курса специальности «Компьютерный дизайн и реклама».
ISBN 978-5-94506-281-9
,*∩γ≈DXq
Элементы начертательной геометрии
Лекция 1.
Образование проекций
Метод проекций
-
Проекции центральные и параллельные.
Метод Монжа. Инвариантные свойства проецирования.
1.1.1 Проекции параллельные
Рис.1.
Образование центральных проекций точек A, B, C, D, E, …
В основе центрального проецирования лежат полученные изображения точек (A B C D E…) на плоскости проекций π0 (рис.1.) путем проведения проецирующих прямых (SA0, SB0, SC0, SD0, SE0, …) из центра проекций S через эти точки до пересечения с плоскостью проекций π0 . В результате получаем центральные проекции точек (A B C D E …) на плоскости π0, а именно, A0, B0, C0, D0, E0, … .
Рис.2.
Образование центральных проекций кривых линий, принадлежащих проецирующей поверхности [S A0 B0 C0 D0 E0 … ]
Очевидно, что проекции нескольких линий:
A1 B1 C1 D1 E1, … , A2 B2 C2 D2 E2, … , лежащих на поверхности S A0 B0 C0 D0 E0… (рис.2), будут проецироваться в одну линию A0 B0 C0 D0 E0… на плоскость проекций π0, где точки A0, B0, C0, D0, E0, … являются центральными проекциями точек A1 , B1 , C1 , D1 , E1, … , A2 , B2 , C2 , D2 , E2, … , на плоскость π0 .
1.1.2. Проекции параллельные
Условимся считать, что все проецирующие прямые параллельны заданному направляющему вектору «S» (рис.3.).
Рис.3. Образование параллельных проекций точек
A, B, C, D, D1, D2
Проецирующие прямые AA0, BB0, CC0, DD0, D1D0, D2D0
параллельны заданному направлению проецирования «S».
Построенные таким образом проекции точек называются параллельными. Следовательно, параллельной проекцией точки будем называть точку пересечения проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению «S», с плоскостью проекций π0.
В параллельных проекциях, так же как и в центральных, для прямой линии проецирующей поверхностью в общем случае служит плоскость, и поэтому прямая линия вообще проецируется в виде прямой. При этом каждая точка и линия пространства имеют единственную проекцию.
Каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если через них проходит общая для них проецирующая прямая, например, на рис.3. точка D0 служит проекцией точек D, D1 и D2 .
Каждая линия на плоскости проекций может быть проекцией множества линий (рис.4), если они расположены в общей для них проецирующей плоскости.
Рис.4. Образование параллельных проекций линий,
расположенных в одной проецирующей плоскости AB B0A0.
«S» ― направление проецирования.
Проецирующие прямые AA0, BB0 параллельны заданному направлению проецирования «S».
На рис.4. отрезок A0B0 служит проекцией отрезка прямой AB и отрезков плоских кривых линий A1B1 и A2 B2.
Для единственного решения необходимы дополнительные условия.
Для построения проекций прямой достаточно спроецировать две точки и через полученные проекции этих точек провести прямую линию (рис.5).
Рис.5. Образование параллельных проекций прямых линий.
«S» ― направление проецирования.
Прямая AB параллельна направлению проецирования «S».
Прямая CD параллельна плоскости проекций π0.
Точка «К» принадлежит прямой общего положения JT.
Проецирующие прямые AA0, BB0, CC0, DD0, JJ0, TT0, KK0 параллельны заданному направлению проецирования «S».
Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой, например, на рис.5. точка «К» принадлежит прямой, проекция К0 принадлежит проекции этой прямой.
Если прямая параллельна направлению проецирования (на рис.5., прямая A B) , то проекцией прямой и любого ее отрезка является точка A0, она же B0. Отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную величину. На рис.5. C D = C0 D0 как отрезки параллельных прямых.
Параллельные проекции делятся на прямоугольные и косоугольные.
В первом случае направляющий вектор «S» перпендикулярен плоскости проекций, а во втором расположен к плоскости проекций под острым углом.
В дальнейшем, в данном методическом пособии будем использовать только прямоугольные проекции.