Линейная Алгебра Билеты 1 Курс 1 Семестр
.pdfЛинал
Со слов гг. Пионтковского и Черныш¼ва записал Павел Фомин
13 декабря 2013 г.
1Основные операции над векторами и матрицами
На множестве n-мерных векторов определены следующие операции:
сложение: (a1; a2; : : : ; an) + (b1; b2; : : : ; bn) = (a1 + b1; a2 + b2; : : : ; an + bn);
умножение на скаляр: (a1; a2; : : : ; an) = ( a1; a2; : : : ; an);
скалярное произведение1: (a1; a2; : : : ; an) (b1; b2; : : : ; bn) = a1b1 + a2b2 + + anbn.
Билет 1.
Докажите дистрибутивность, коммутативность сложения и скалярного произведения, ассоциативность сложения в n-мерном евклидовом пространстве 2.
Все доказательства проводятся через ссылки на соответствующие свойства вещественных чисел.
Дистрибутивность скалярного произведения относительно сложения:
A(B + C) = (a1; a2; : : : ; an) ((b1; b2; : : : ; bn) + (c1; c2; : : : ; cn)) =
=(a1; a2; : : : ; an) (b1 + c1; b2 + c2; : : : ; bn + cn) = a1(b1 + c1) + a2(b2 + c2)+
+: : : an(bn + cn) = a1b1 + a2b2 + + anbn + a1c1 + a2c2 + + ancn = AB + AC;
|
(1.1) |
(A + B) C = ((a1; a2; : : : ; an) + (b1; b2; : : : ; bn)) (c1; c2; : : : ; cn) = |
|
= (a1 + b1)c1 + (a2 + b2)c2 + + (an + bn)cn = a1c1 + a2c2 + + ancn+ |
|
+b1c1 + b2c2 + + bncn = AC + BC; |
(1.2) |
коммутативность сложения: |
|
A + B = (a1; a2; : : : ; an) + (b1; b2; : : : ; bn) = (a1 + b1; a2 + b2; : : : ; an + bn) = |
|
= (b1 + a1; b2 + a2; : : : ; bn + an) = B + A; |
(1.3) |
коммутативность скалярного произведения: |
|
A B = (a1; a2; : : : ; an) (b1; b2; : : : ; bn) = a1b1 + a2b2 + + anbn = |
|
= b1a1 + b2a2 + + bnan = B A; |
(1.4) |
ассоциативность сложения: |
|
(A + B) + C = ((a1 + b1) + c1; (a2 + b2) + c2; : : : ; (an + bn) + cn) = |
|
= (a1 + (b1 + c1); a2 + (b2 + c2); : : : ; an + (bn + cn)) = A + (B + C): |
(1.5) |
Для матриц определены следующие операции:
сложение: An m + Bn m = Cn m, åñëè cij = aij + bij;
умножение: An m Bm r = Cn r, если выполняются следующие эквивалентные условия:
cik = Ai Bk = Pm aijbjk;
j=1
1¾Вообще говоря¿ c , скалярное произведение не является операцией, так как сопоставляет двум векторам число. Операция же в общем случае отображает множество Xn в X. Однако пока неизвестно, да¼т ли сие
тайное знание право не доказывать свойств скалярного произведения.
2Здесь фактически рассматриваются координаты вектора относительно определ¼нного базиса; см. стр. 13.
1
Ci = Ai B;
Ck = A Bk.
Билет 2.
Докажите равенства (A + B)C = AC + BC и (A B) C = A (B C), где все выражения в левой части имеют смысл.
Докажем сначала дистрибутивность умножения относительно сложения: пусть
есть матрицы A |
n m |
, Bn |
m, Cm |
|
r, P = A + B, R = P C, S = AC, T = BC; тогда |
|
m |
m |
|
m |
m |
P P P P
rik = j=1 pijcjk = j=1(aij + bij)cjk = j=1 aijcjk + j=1 bijcjk = sik + tik, òî
åñòü (A + B)C = P C = R = S + T = AC + BC.
Рассмотрим теперь ассоциативность умножения произвольных матриц. Обозна- ÷èì èõ êàê An m, Bm r, Cr t. Тогда
((A B) C)il = |
r |
(A B)ikckl = |
r |
00 m |
aijbjk |
1ckl |
1 |
= |
m r |
(aijbjkckl): |
|
X |
|
X |
@@X |
|
A |
A |
|
XX |
|
|
k=1 |
|
k=1 |
j=1 |
|
|
|
|
j=1 k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
Последний переход возможен, так как (x1 + + xn)y = x1y + + xny. В свою очередь,
(A (B C))il = |
m |
(aij(B C)jl) = |
m |
aij |
r |
bjkckl!! = |
m r |
(aijbjkckl): |
|
X |
|
X |
|
X |
|
XX |
|
|
j=1 |
|
j=1 |
|
k=1 |
|
j=1 k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.2) |
Очевидно, что (2.1) и (2.2) равны. |
|
|
|
|
|
|
2Подстановки
Îïð. Подстановка порядка n биекция из множества натуральных чисел не больше n
íà ñåáÿ.
Îïð. Единичная (тождественная) подстановка подстановка, сопоставляющая каждому числу себя же. Обозначается Id.
Для подстановок одинакового порядка определена операция произведения, эквивалентная композиции: = .
Îïð. Инверсией в подстановке называется такая пара элементов i и j, что i < j, но
(i) > (j).
Îïð. Транспозицией ij называется подстановка вида
|
|
|
1 |
2 |
: : : |
i |
: : : |
j |
: : : |
n |
: |
|
|
1 |
2 |
: : : |
j |
: : : |
i |
: : : |
n |
||
Óòâ. ij 1 = ij. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Óòâ. |
2 |
= Id. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Óòâ. Любая подстановка может быть разложена в произведение независимых циклов.
Билет 3.
Теорема. Любая подстановка раскладывается в произведение транспозиций.
Докажем теорему по индукции, в зависимости от порядка n:
n = 1: существует единственная подстановка, равная Id;
2
n = 2: существуют две подстановки (1; 2) = Id и (2; 1) = 1;2;
n > 2: пусть предположение индукции верно при порядке n 1 для произ-
вольной подстановки . Любая подстановка порядка n представима либо как
1 |
2 |
: : : n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
: : : n 1 |
n |
(в каковом случае она раскладывается в транспо- |
|||||||
|
|
|
nk, à |
|
|
2 : : : |
k |
: : : |
n |
|
|
зиции точно так же, как и ), либо как |
1 |
(тогда |
|||||||||
1 |
2 : : : |
n |
: : : |
k |
|||||||
она представляется как |
|
|
разложима на транспозиции по предполо- |
||||||||
жению индукции). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что единичная подстановка Id раскладывается в произведение 0 транспозиций.
Îïð. Ч¼тность подстановки равна ч¼тности количества инверсий в ней.
Îïð. Знаком подстановки называется число sgn = ( 1)t, где t количество инверсий
в разложении подстановки.
Теорема. Умножение на транспозицию меняет знак подстановки.
Пусть некоторая подстановка умножается на транспозицию ij, ãäå i < j. Обозна- чим буквой l минимум из i и j, а r максимум. Рассмотрим следующие классы элементов (номер элемента обозначаем k):
k < l; k < i < j ëèáî i < j < k: количество инверсий не меняется;
k < l; i < k < j: смена положения i не нарушает ни одну инверсию;
r < k; k < i < j ëèáî i < j < k: количество инверсий не меняется;
r < k; i < k < j: смена положения j не нарушает ни одну инверсию;
l < k < r; k < l < r ëèáî k < r < l: каждой инверсии l > k после транспозицииl è r будет соответствовать инверсия r > k;
l < k < r; l < r < k ëèáî r < l < k: каждой инверсии k > r после транспозиции
l è r будет соответствовать инверсия k > l; |
|
|
|
||
l < k < r; l |
< k |
< r: после транспозиции появятся сразу две инверсии, |
r |
> k |
è |
k > l; |
|
|
|
|
|
l < k < r; r |
< k |
< l: после транспозиции исчезнут сразу две инверсии, |
l |
> k |
è |
k > r. |
|
|
|
|
|
Ни в одном из рассмотренных случаев не получаем оснований для смены знака подстановки. Но такое основание дают элементы i и j. В самом деле, если l < r, то после транспозиции инверсия появляется, а в противном случае исчезает.
Следствие. Для любой подстановки ч¼тности количества инверсий и количества транспозиций в разложении равны.
Билет 4.
Теорема. Знак произведения подстановок равен произведению их знаков.
Разложим подстановки 1 è 2 íà t1 è t2 транспозиций соответственно. Пусть ни одна транспозиция не встречается в обоих разложениях; тогда, очевидно, 1 2 разлагается на t1 + t2 транспозиций, а sgn( 1 2) = ( 1)t1+t2 = ( 1)t1 ( 1)t2 = sgn 1 sgn 2. Если же некоторая транспозиция ij
подстановок, то в разложении |
|
2 |
|
ij ij сократится, и общее количество |
|
произведения |
|
||
транспозиций уменьшится на 2, но ( 1) |
|
= 1, поэтому sgn( 1 2) по-прежнему |
||
будет равно sgn 1 sgn 2. |
|
|
|
|
Óòâ. Все транспозиции неч¼тны.
3
Любую транспозицию ij можно представить как Id ij. Умножение на транспо- зицию меняет знак подстановки. Знак Id равен 1, тогда знак транспозиции равен
-1. |
|
Óòâ. Знаки взаимно обратных подстановок равны. |
|
1 = Id, поэтому и sgn sgn 1 = sgn Id = 1, откуда sgn = sgn 1. |
|
3 Определитель
Îïð. Определитель квадратной матрицы A = faijg порядка n равен
X
sgn a1 1 a2 2 : : : an n ;
8 2Sn
ãäå Sn множество всех подстановок порядка n.
Для определителя должны выполняться следующие свойства:
полилинейность:
det(A1; A2; : : : ; X + Y; : : : ) = det(A1; A2; : : : ; X; : : : ) + det(A1; A2; : : : ; Y; : : : );
det(A1; A2; : : : ; X; : : : ) = det(A1; A2; : : : ; X; : : : );
кососимметричность: det(A1; A2; : : : ; X; : : : ; Y; : : : ) = det(A1; A2; : : : ; Y; : : : ; X; : : : );
det E = 1.
Билет 5.
Как определитель вед¼т себя при элементарных преобразованиях строк матрицы?
Рассмотрим три элементарных преобразования: перестановку строк, умножение
строки на число и сложение двух строк.
Перестановка строк i и j приводит к тому, что каждая подстановка из определения детерминанта заменяется на ij. Тогда знак подстановки изменяется; стало быть, и весь определитель умножается на 1. В то же время определитель
содержит все возможные подстановки, а новая матрица содержит все элементы старой, тогда новый определитель содержит те же самые слагаемые с точностью до знака. Итак, при перестановке строк определитель всего лишь меняет знак.
Теперь умножим i-ю строку матрицы на число . Распишем детерминант по определению:
|
|
8X |
det(A1; : : : ; Ai; : : : ; An) = |
sgn a1 1 : : : ai i : : : an n = |
|
|
8X |
2Sn |
|
|
|
= |
sgn a1 1 : : : ai i : : : an n = det(A1; : : : ; Ai; : : : ; An): (5.1) |
2Sn
Получаем, что множитель можно вынести за знак определителя.
Наконец, рассмотрим определитель матрицы, в которой к некоторой строке i была
4
прибавлена строка j. По определению:
|
|
8X |
det(A1; : : : ; Ai + Aj; : : : ; Aj; : : : ; An) = |
sgn a1 1 : : : (ai i + aj i ) |
|
|
8X |
2Sn |
: : : aj j : : : an n = |
|
|
sgn a1 1 : : : ai i : : : aj j : : : an n + |
2Sn
X
+sgn a1 1 : : : aj i : : : aj j : : : an n = det(A1; : : : ; Ai; : : : ; Aj; : : : ; An)+
8 2Sn
+ det(A1; : : : ; Aj; : : : ; Aj; : : : ; An): (5.2)
Докажем такое утверждение: определитель матрицы X с двумя одинаковы-
ми строками равен 0. В самом деле, как только что было доказано, перемена мест строк меняет знак определителя. Но если мы поменяем местами две равные строки, матрица не изменится, и поэтому det X = det X, что верно только при
det X = 0.
Пользуясь этим свойством, получим:
(5.2) = det(A1; : : : ; Ai; : : : ; Aj; : : : ; An) + det(A1; : : : ; Aj; : : : ; Aj; : : : ; An) =
= det A + 0: (5.3)
Таким образом, если к одной строке матрицы прибавить другую, определитель не
изменится. |
|
Óòâ. det AT = det A. |
|
При транспонировании i-я строка переходит в i-й столбец и наоборот. Тогда
X |
sgn a 11a 22 : : : a nn = |
8X |
det AT = |
sgn a1 1 a2 2 : : : an n ; |
|
8 2Sn |
|
2Sn |
ãäå = 1. Получаем фактически формулу для det A. Стало быть, определитель при транспонировании не меняется.
Теорема. Определитель матрицы с углом нулей, то есть вида ( A0 BC ), равен det A det C.Как доказано в следствии из билета 10, любая кососимметрическая полилинейная функ-
ция от строк или столбцов3 матрицы представима как (X) = det X (E), где, очевидно, (E) можно задавать любым и получать разные функции. Определим такую функцию
f(A) = det ( A0 BC ). Е¼ кососимметричность относительно столбцов A следует из соответствующего свойства определителя. Полилинейность же вытекает из того, что столбцы вида Ai
0
не теряют такой вид при сложении и умножении на скаляр, так как нули в нижней части остаются нулями при таких преобразованиях. Итак,
f(A) = det A f(E) = det A det ( E0 BC ) :
Зададим такую полилинейную кососимметрическую функцию g(C) от строк C, что g(C) = det ( E0 BC ). По соображениям, подобным привед¼нным выше, получаем
f(A) = det A det C det ( E0 BE ) :
Матрицу ( E0 BE ) можно привести к единичной элементарными преобразованиями (так как в нижней подматрице есть строки, содержащие только одну единицу), прич¼м определитель
от этого не поменяется. Но det E = 1, получаем
det ( A0 BC ) = det A det C:
3В этом доказательстве строки и столбцы матрицы имеют значимые различия.
5
Îïð. Минор некоторой матрицы определитель матрицы, полученной из исходной пут¼м удаления части строк и/или столбцов.
Îïð. Дополнительный минор элемента aij матрицы A минор, полученный пут¼м уда-
ления из A строки i и столбца j. Обозначается Mij.
Îïð. Алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A равно ( 1)i+j det Mij. Обозна- чается Aij.
Матрица, состоящая из алгебраических дополнений, называется союзной матрицей и обозначается ~
A.
Билет 6.
Теорема. Определитель квадратной матрицы A = faijg порядка n раскладыва-
ется по строке x в сумму
n
axjAxj:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из полилинейности определителя получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
det |
0a: :x:1: : :a:x:2: : ::::::: : :a:xn: :1 |
|
= |
n |
det |
0:: :: :: : : |
0: : : :a:xj: : : :0: : : :: :: ::1 |
: |
|
|
(6.1) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
|
|
=1 |
|
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|||
В свою очередь, из кососимметричности определителя следует |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1)x 1 det 0a: |
11: : |
0 |
|
|
|
a |
|
|
1:n: |
1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(6.1) = n |
( |
|
a12 |
|
|
: xj: : : :0: |
a: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
=1 |
|
|
|
Ba |
|
|
a |
|
|
|
: : : : : : a |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
B n1 |
n2 |
|
|
|
|
|
nnC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
axj |
0 |
0 |
: : : |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
= n |
( |
|
1)x 1 |
|
( |
|
1)j 1 det 0a1j |
a11 |
a12 |
: : : a1n |
(6.2) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ba |
a |
a |
|
: : : a |
|
:C |
|
|||||
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
nn |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B nj |
n1 |
|
|
|
|
C |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
Получаем определитель матрицы с углом нулей, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
( 1)x+jaxjMxj = |
n |
|
|
|
|
|
||||||||
(6.2) = |
|
|
|
( 1)x+j 2 det(axj)Mxj = |
axjAxj: |
|
|
(6.3) |
|||||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|||||
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, лежащих на е¼ главной диагонали.
|
|
|
|
a11 a12 |
::: a1n |
|
||
Рассмотрим нижнетреугольную матрицу A = |
0 |
a22 |
::: a2n |
. Е¼ можно разло- |
||||
::: |
::: |
|
::: ::: |
|||||
|
|
|
0 |
0 |
|
::: ann |
|
|
жить по первому столбцу: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 a23 : : : |
a2n |
|
a11: |
|
|||
|
det A = det B: |
0: : : : :a:33: : : ::::::: : :a:3:n:C |
(6.4) |
|||||
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
|
@ |
0 |
0 : : : |
ann |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фигурирующая в таком разложении матрица тоже является нижнетреугольной, поэтому и к ней применимо такое же действие. Выполнив разложение n 1 раз,
получим: |
|
det A = a11 a22 : : : ann: |
(6.5) |
Для верхнетреугольной матрицы теорема доказывается аналогично. |
|
6
Îïð. Обратная матрица к невырожденной матрице A такая матрица A 1, ÷òî A A 1 = E.
Билет 7.
Óòâ. det A 1 = det 1 A.
Как доказано в билете 11 (стр. 10), det AB = det A det B. Тогда 1 = det E = det(A A 1) = det A det A 1, òî åñòü det A 1 =
Теорема. У любой невырожденной матрицы X существует единственная обрат-
1, равная 1 ~T . ная матрица X det X A
Предположим, что существует такая матрица C = fcijg, что XC = E, а матрица X невырожденная. Тогда XCj = Ej. Согласно теореме Крамера у этого уравнения
есть единственное решение относительно Cj, вычисляемое по формуле
|
|
|
|
|
|
|
x11 : : : 0 : : : x1n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
|
|
(7.1) |
||
cij = :x:j:1: : ::::::: : :1: : ::::::: : :x:jn: : det X ; |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
n1 |
: : : 0 : : : x |
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где числитель представляет собой определитель матрицы, |
полученной из |
A çàìå- |
||||
ной е¼ i-го столбца на j-й столбец единичной матрицы. |
|
|
С помощью рассуждений, аналогичных провед¼нным в (6.2) и (6.3), получаем:
|
|
|
|
|
|
(7.1) = |
( 1)j+i Mji |
= |
|
1 |
|
|
|
A |
|
: |
(7.2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det X |
ji |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det X |
|
|
|
|
|
|||||||||
Если же матрица X вырожденная, то согласно той же теореме Крамера решений |
|||||||||||||||||||||||||
уравнения XCj = Ej бесконечно много. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Óòâ. (X 1)T = (XT ) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пусть X = |
x |
ijg |
, Y = XT = |
|
y |
ijg |
. По определению обратной матрицы X 1 = |
|||||||||||||||||
|
|
f |
|
1 |
f |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
A~T . Тогда (X 1)T = |
(A~T ) = |
1 |
A~. В свою очередь, |
|
|||||||||||||||||||
|
det X |
det X |
det X |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Y 1 = |
|
1 |
|
|
(AT )T |
= |
1 |
|
|
(AT )T : |
(7.3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
det XT |
det X |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
f |
|
|
Распишем алгебраическое дополнение xij êàê AXij = ( 1)i+j MijX, а алгебраическое дополнение yji êàê AYji = ( 1)j+i MjiY . Докажем, что миноры MijX è MjiY равны между собой. В самом деле, минор MijX есть определитель матрицы, полученной из X удалением строки i и столбца j. Но при траспонировании X i-я строка перешла
в i-й столбец, а j-й столбец в j-ю строку. Получаем, что оба минора получены
удалением из матрицы одних и тех же элементов. Кроме того, транспонирование не меняет определитель, поэтому MijX = MjiY , из чего следует и равенство AXij =
AYji.
T ~ T , из чего выводим Полученный результат можно переписать как Af = (A)
|
T 1 |
|
(7.3) |
|
1 |
~T |
T |
|
|
1 |
~ |
1 |
|
T |
|
(7.4) |
(X |
= |
= |
det X |
) |
= |
det X |
= (X |
) |
|
: |
||||||
) |
|
(A |
A |
|
|
7
Билет 8.
Теорема. Решение системы линейных уравнений AX = B, прич¼м такой, что det A 6= 0, можно вычислить с помощью метода Крамера:
|
: : : a2;i 1 |
b2 |
a2;i+1 |
: : : |
|
||
|
|
: : : a1;i 1 |
b1 |
a1;i+1 |
: : : |
|
|
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: : : a |
b |
a |
|
: : : |
|
|
xi = |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
n;i 1 |
det A |
|
n;i+1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Представим систему в таком виде:
8 a21 |
1 |
+ a22 |
2 |
+ |
|
+ a2n n = b2 |
; |
|
|
> |
a11 |
1 |
+ a12 |
2 |
+ |
+ a1n n = b1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
: : : ; |
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.1) |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
ai1 1 + ai2 2 + + ain n = bi; |
|
|||||||
> |
|
||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
: : : ; |
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>an1 1 + an2 2 + + ann n = bn: |
|
||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
>
>
>
:
Здесь одно из решений системы. Будем искать неизвестное i. Умножим обе части j-го уравнения (где j пробегает по номерам всех уравнений, от 1 до n) на Aji, сложим получившиеся равенства и вынесем за скобки. Получим:
1(A1ia11 + A2ia21 + + Anian1) + 2(A1ia12 + A2ia22 + + Anian2)+
++ i(A1ia1i + A2ia2i + + Aniani) + + n(A1ia1n + A2ia2n + + Aniann) =
=A1ib1 + A2ib2 + + Anibn: (8.2)
Заметим, что все суммы в скобках представляют собой определители матриц, полученных из A заменой элемента axi, находящегося в i-м столбце, на множитель при алгебраическом дополнении Axi (x пробегает по всем номерам строк). Более того, почти все определители в левой части равны нулю, так как содержат два одинаковых столбца. Не равен нулю только коэффициент при i, представляю-
щий собой определитель исходной матрицы |
A. Представив ещ¼ и правую часть |
||||||||
(8.2) как определитель, получаем |
a2;i 1 |
|
|
: : :1 |
|
|
|||
i |
|
det A = |
0: : : |
b2 |
a2;i+1 |
: |
(8.3) |
||
|
|
|
: : : a1;i 1 |
b1 |
a1;i+1 |
: : : |
|
|
|
|
|
|
B:: :: :: : : :a: : : : : : : b: : : : :a: : : : : : : :: :: ::C |
|
|
||||
|
|
|
@ |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
B |
n;i 1 |
n |
n;i+1 |
C |
|
|
Поскольку det A 6= 0, это равенство можно переписать как |
|
||||||
0: : : |
a2;i 1 |
b2 |
a2;i+1 |
: : :1 |
|
|
|
: : : |
a1;i 1 |
b1 |
a1;i+1 |
: : : |
|
|
|
B:: :: :: : : :a: : : : : : : b: : : : :a: : : : : : : :: :: ::C |
(8.4) |
||||||
B |
n;i 1 |
n |
n;i+1 |
C |
|||
i = |
@ |
|
|
|
A |
; |
|
|
|
det A |
|
|
|
||
получаем решение системы линейных уравнений, и притом единственное. |
|
Êстрокам матрицы применимы следующие элементарные преобразования:
1.перемена двух строк матрицы местами;
2.прибавление к строке матрицы другой строки, умноженной на число;
8
3.умножение строки на ненулевое число.
Билет 9.
Теорема. Элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных уравнений.
Преобразование 1 вида фактически меняет местами два уравнения, что никак не меняет множества решений.
Преобразование 2 вида заменяет строку a1x1 + a2x2 + + anxn = l íà |
|
a1x1 + b1x1 + a2x2 + b2x2 + + anxn + bnxn = X; |
(9.1) |
ïðè÷¼ì b1x1 + b2x2 + + bnxn равно некоторому m. Но (9.1) = l + m, что верно
тогда и только тогда, когда верны исходные равенства то есть когда множество решений системы не меняется.
Если с помощью преобразования 2 вида прибавим к строке е¼ же, умноженную на 1, то получим элементарное преобразование 3 вида, умножение строки на
. Таким образом, доказательство теоремы для преобразования 3 вида сводится к вышепривед¼нному.
Теорема. Пут¼м элементарных преобразований любую матрицу можно привести к каноническому виду.
Пусть в матрице A первые k 1 столбцов уже приведены к каноническому виду, прич¼м построено s 1 ступеней. Докажем, что и первые k столбцов также можно привести к каноническому виду. Если все элементы в k-м столбце, находящиеся в строке s или после не¼, нулевые, то такой канонический вид уже найден. Рассмотрим теперь случай, когда существует ajk 6= 0, где j > s. Применим элементарное
преобразование 1 вида и поменяем местами строки |
|
и , так чтобы |
0. Тогда |
|
|
j |
s |
ask 6= aik |
As. |
для всех строк i 6= s применим преобразование 2 вида: к Ai прибавим ask |
Тогда в столбце k все элементы, кроме ask, равны нулю. Применим преобразо-
вание 3 вида и умножим столбец на a1 , чтобы ask приравнять единице. Таким
sk
образом, получаем искомый канонический вид первых k столбцов матрицы A.
Теорема. Канонический вид матрицы единственный. Иначе:
Теорема. Канонический вид матрицы A однозначно восстанавливается по множеству решений системы линейных уравнений AX = 0.
Пусть известно, что в системе ровно s базисных переменных, тогда канониче- ский вид K восстанавливается так: если 8i 6 s, то kii = 1, другие элементы i-х
столбцов приравниваются 0. Остальные элементы K вычисляются по соотноше- |
|
âàòü íóëþ,P |
|
íèþ xi = |
j>s kijxj. Если все свободные переменные, кроме одной, приравни- |
можно однозначно восстановить коэффициенты.
Осталось только определить, сколько переменных являются главными, а сколько свободными. Это можно сделать, пользуясь следующим свойством: значение свободной переменной невозможно определить по значениям расположенных после не¼ переменных. Таким образом, свободные переменные можно определить также однозначно.
В общем случае свободные переменные могут не располагаться в одной части матрицы; в таком случае уже нельзя отличить свободные переменные от базисных по индексу, но основная идея доказательства оста¼тся прежней.
9