7. Запасы устойчивости сар

В работе рассматриваются вопросы определения запасов устойчивости САР по амплитуде и фазе с использованием критерия Найквиста и логарифмического критерия.

Запас устойчивости по амплитуде – это минимальный отрезок действительной оси h, характеризующий расстояние между критической точкой (-1, j0) и ближайшей точкой пересечения годографом Найквиста вещественной оси (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Запасы устойчивости САР по критерию Найквиста

Запас устойчивости по фазе g – это минимальный угол, образуемый радиусом, проходящим через точку пересечения годографа Найквиста с окружностью единичного радиуса с центром в начале координат и вещественной отрицательной полуосью (рисунок 2.6).

Определение запасов устойчивости по логарифмическому критерию показано на рисунке 2.7.

Запас устойчивости по амплитуде характеризует отрезок при том значении частоты, при котором ЛФЧХ -180. Запасу устойчивости по фазе g соответствует угол между ЛФЧХ и линией -180 при частоте среза .



Рисунок 2.7 – Запасы устойчивости САР по логарифмическому критерию

3. Пример анализа устойчивости сар и построения области устойчивости

Проанализируем устойчивость САР, структурная схема которой приведена на рисунке 3.1,

Рисунок 3.1 – Структурная схема САР

где ; ; ;

; ; ;

; ; .

Передаточная функция САР в соответствии со структурной схемой на рисунке 3.1 имеет вид

. (3.1)

После подстановки выражений передаточных функций и значений их коэффициентов получим, что

. (3.2)

Для оценки устойчивости САР воспользуемся критерием Найквиста. В этом случае требуется найти передаточную функцию разомкнутой части САР:

. (3.3)

Тогда частотная передаточная функция

. (3.4)

Выделим вещественную и мнимую части, умножив на комплексно-сопряженный знаменатель. После преобразования имеем, что

. (3.5)

Построим годограф Найквиста, то есть АФЧХ разомкнутой части САР. Для этого найдём точки пересечения годографа Найквиста с вещественной и мнимой осями:

, если .

, то есть .

, если

1. ;

2. , .

Результаты расчёта точек годографа Найквиста приведены в таблице 3.1, а годограф Найквиста на рисунке 3.2, который показывает, что САР неустойчива, так как годограф Найквиста охватывает точку (-1, j0).

Таблица 3.1 – Данные для построения годографа Найквиста

w	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,58
P(w)	26,18	24,35	19,59	13,54	7,70	2,92	0
Q(w)	0	-8,01	-14,08	-17,34	-18,03	-16,97	-15,42
w	0,6	0,7	0,8	0,9	1	1,998	+¥
P(w)	-0,59	-2,94	-4,36	-5,10	-5,38	-2,44	0
Q(w)	-14,98	-12,66	-10,38	-8,31	-6,52	0	0

Рисунок 3.2 – Годограф Найквиста

Для коррекции устойчивости САР построим на основе D-разбиения область устойчивости в области параметра . При построении области устойчивости используется характеристическое уравнение САР (знаменатель передаточной функции САР см. формулу 3.1):

. (3.6)

После преобразования и подстановки коэффициентов (кроме ) характеристическое уравнение принимает вид

. (3.7)

Отсюда

. (3.8)

Заменив p на jw имеем, что

.

Тогда вещественная и мнимая части примут вид

. (3.9)

Для построения кривой D-разбиения найдём её точки пересечения с вещественной и мнимой частями:

, если .

, то есть .

, если

1. ;

2. , то есть .

Результаты расчёта точек кривой D-разбиения приведены в таблице 3.2, а кривая D-разбиения на рисунке 3.3.

Таблица 3.2 – Значения для построения кривой D-разбиения

w	0	0,4	0,581	0,8	1,983	5	10	+¥
U(w)	-0,073	-0,038	0	0,065	0,776	5,327	21,527	+¥
V(w)	0	-0,089	-0,123	-0,155	0	6,215	56,68	+¥

Рисунок 3.3 – Кривая D-разбиения

Кривая D-разбиения показывает, что область I может быть областью устойчивости. Для этого возьмём значение внутри интервала (0; 0,776). Проверим устойчивость САР по критерию Гурвица при = 0,5.

В этом случае характеристическое уравнение примет вид

.

Тогда матрица Гурвица имеет вид

.

Отсюда:

.

.

.

Так как все определители Гурвица являются положительными, то САР устойчива.