21

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Кузбасский государственный технический университет"

Кафедра информационных и автоматизированных

производственных систем

Анализ устойчивости систем автоматического регулирования

Методические указания к лабораторной работе по курсу

Основы теории управления для студентов специальности 230201 "Информационные системы и технологии"

Составитель Г. А. Алексеева

И. В. Чичерин

Утверждены на заседании кафедры

Протокол № 5 от 02.02.2011

Рекомендованы к печати

учебно-методической комиссией

специальности 230201

Протокол № 274 от 11.03.2011

Электронная копия находится

в библиотеке главного корпуса

ГУ КузГТУ

Кемерово 2011

1. Цель работы

Цель работы – изучение критериев устойчивости и приобретение практических навыков по их использованию при анализе устойчивости линейных систем автоматического регулирования (САР), а также в построении областей устойчивости в плоскости одного параметра.

2. Основные теоретические положения

Критерии устойчивости – это правила исследования устойчивости САР без непосредственного решения дифференциального уравнения. Из критериев устойчивости в работе рассматриваются алгебраические критерии Гурвица и Рауса, частотные критерии Михайлова и Найквиста, а также логарифмический критерий.

1. Критерий Гурвица

САР устойчива по критерию Гурвица, если при положительности коэффициентов характеристического уравнения

(2.1)

все n определителей Гурвица, составленные по определённой схеме, положительны. Если хотя бы один из определителей Гурвица отрицательный, то система неустойчива.

Матрица, по которой определяются все n определителей Гурвица, имеет вид

(2.2)

Итак, для устойчивости САР необходимо, чтобы:

; ; ; …;

; . (2.3)

2. Критерий Рауса

САР устойчива по критерию Рауса, если положительны коэффициенты первого столбца таблицы Рауса (таблица 2.1), включая и , где элементы столбцов, начиная с третьей строки, определяются по формуле:

, (2.4)

где i – порядковый номер строки в таблице Рауса, ;

k – порядковый номер столбца таблицы Рауса, k=1, 2, …;

– вспомогательные коэффициенты.

Вспомогательные коэффициенты определяются следующим образом

. (2.5)

Таблица 2.1 – Таблица Рауса

	Номер строки	Номер столбца
		1	2	3	…
–	1	C11 = a0	C12 = a2	C13 = a4	…
–	2	C21 = a1	C22 = a3	C23 = a5	…
	3	C31	C32	C33	…
…	…	…	…	…	…
	i	Ci1	Ci2	Ci3	…
…	…	…	…	…	…
	n + 1	Cn-1,1	…	…	…

Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то САР неустойчива.

3. Критерий Михайлова

Критерий Михайлова основан на рассмотрении характеристического уравнения САР, в котором вместо p используется jw. В этом случае имеем функцию комплексной переменной вида

, (2.6)

где

;

.

Система устойчива по критерию Михайлова, если при изменении частоты  от 0 до +¥ годограф Михайлова повернётся в положительном направлении (против часовой стрелки), начиная с вещественной положительной полуоси, на число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения, то есть на угол np/2, при этом, нигде не обращаясь в нуль.

Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то САР находится на границе устойчивости.

а) б)

Рисунок 2.1 – Годографы Михайлова

САР неустойчива по критерию Михайлова, если годограф проходит n квадрантов непоследовательно или проходит меньшее число квадрантов. На рисунке 2.1а приведены годографы Михайлова для устойчивой САР (кривая 1), для САР на границе устойчивости (кривая 2), а на рисунке 2.1б для неустойчивой САР при n = 4.