6. Постоянные финансовые ренты

Поток платежей, все члены которого положительные величины, и временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или аннуитетом.

Если платежи осуществляются в конце временных перидов, то ренты называют обыкновенными или постнумерандо, если платежи производятся в начале временных интервалов, то их называют пренумерандо.

Наращенная сумма потока платежей – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты, может быть рассчитана по следующей формуле прямого счета:

, (6.1)

где FVA – наращенная сумма потока платежей;

R_t – размер члена ренты, т.е.размер очередного платежа по ренте;

i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;

n – срок реализации ренты в годах;

n_t – сроки платежей по ренте.

Современная (текущая) стоимость потока платежей (капитализированная или приведенная стоимость) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов, может быть рассчитана по следующей формуле прямого счета:

(6.2)

где PVA – современная стоимость потока платежей.

Методом прямого счета можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей, в том числе и постоянной ренты, но удобнее для расчета использовать компактные формулы, приведенные в приложении Д. Приведем вывод формул для годовых рент постнумерандо.

Наращенная сумма годовой ренты постнумерандо. Пусть в течении n лет в конце каждого года в банк вносится по R грн. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i % годовых. Таким образом, есть рента, член которой R, а срок n. Все члены ренты, кроме последнего приносят проценты – на первый член проценты начисляются (n-1) год, на второй – (n-2) и т.д. Наращенная к концу каждого взноса сумма составит:

R*(1+i)^n-1, R*(1+i)^n-2 ,……, R*(1+i), R

Если полученный ряд переписать в обратном порядке, получим геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i), первым членом R и числом членов прогрессии n. Наращенная сумма ренты равна сумме членов этой прогрессии:

(6.3)

где FVIFA_n.i – коэффициент наращения ренты, значения которого зависят от ставки процентов и срока ренты и рассчитывается по формуле:

Значения коэффициентов наращения финансовых рент представлены в приложении Е.

Пример 1. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 грн., на которые будут начисляться проценты по ставке 20 %. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.

Решение:

Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.

Сумму всех взносов с начисленными процентами (наращенную сумму) найдем по формуле (6.3):

3720,8 грн.

Можно определить наращенную сумму постоянной ренты, воспользовавшись финансовыми таблицами (приложение Е), содержащими коэффициенты наращения ренты:

FVA = 500 * 7,4416 = 3720,8 грн.

Сумма взносов в течение 5 лет составит:

P = n * R = 5 * 500 = 2500 грн.

Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна:

I = FVA - P = 3720,8 - 2500 = 1220,8 грн.

Таким образом, доход владельца счета за 5 лет составит 1220,8 грн.

Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо в общем виде определяется следующим образом:

(6.4)

Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо. Член ренты R, срок ренты – n, ежегодное дисконтирование. Дисконтированные величины платежей образуют последовательность:

R*(1+i)^-1, R*(1+i)^-2,……R*(1+i)^-n

Полученная последовательность представляет геометрическую прогрессию с первым членом R*(1+i)^-1, знаменателем (1+i)^-1 и числом членов n:

(6.5)

где PVIFA_n,I – коэффициент приведения ренты, значения которых приведены в приложении Ж

Пример 2. Какую сумму необходимо положить в банк, чтобы в течение следующих трех лет иметь возможность ежегодно снимать со счета 12000 грн, исчерпав счет полностью, если банк начисляет на вложенные деньги проценты по ставке: а) 16 % годовых; б) 16 % ежеквартально; в) 16 % непрерывно.

Решение:

Данную операцию рассматриваем в виде годовой финансовой ренты, проценты начисляются по трем вариантам, необходимо определить современную стоимость финансовой ренты:

а) проценты начисляются ежегодно

Найдем современную стоимость, используя финансовые таблицы для нахождения коэффициента приведения ренты (приложение Ж )

PVA=12000*2,24589=26950,67 грн.

б) проценты начисляются ежеквартально

=26521,1 грн.

Найдем современную стоимость с помощью коэффициентов приведения (приложение Ж)

PVA = 12000* грн.

в) непрерывное начисление процентов

26365,74 грн.

Найдем современную стоимость, определив коэффициенты приведения по таблицам (приложение Ж)

PVA= 12000*2,19715=26365,74 грн.

Таким образом, на счет необходимо положить 26950,67 грн. при ежегодном начислении процентов; 26521,1 грн. при ежеквартальном начислении процентов; 26365,74 грн. при непрерывном начислении процентов.

Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо в общем виде определяется следующим образом:

(6.6)

Между современной величиной и наращенной суммой ренты существует определенная зависимость:

Пусть PVA - современная величина годовой ренты постнумерандо,

FVA - ее наращенная стоимость к концу срока n, p=1, m=1.

Покажем, что наращение процентов на сумму PVA за n лет дает сумму, равную FVA:

Дисконтирование FVA дает PVA:

Коэффициенты приведения и наращения ренты связаны следующими соотношениями:

Вечная рента – это ряд платежей, количество которых не ограничено. Наращенная сумма вечной ренты равна бесконечной величине. Современная стоимость вечной ренты – величина конечная и определяется как предел от современной стоимости обычной ренты при n →∞.

Пример 3. Предприятие собирается учредить фонд для выплаты стипендий студентам-отличникам в сумме 10000 ежегодно. Какую сумму должно предприятие положить в банк, чтобы обеспечить получение необходимой суммы неограниченно долго, если: а) банк выплачивает 16 % сложных годовых; б) банк выплачивает проценты ежеквартально по ставке 16 % годовых; в) банк выплачивает непрерывные проценты с силой роста 16 %.

Решение:

Суммы, которые необходимо положить на банковский счет представляют собой современную стоимость вечной ренты с разным начислением процентов. Для нахождения этих сумм необходимо найти соответствующие формулы современных стоимостей обычных рент, представленных в приложении Д, и найти предел этих формул.

а) Вечная рента с начислением процентов один раз в год. Формула современной стоимости обычной ренты с начислением процентов один раз в год:

Найдем предел этой формулы при неограниченном увеличении n:

Отсюда:

грн.

б) Вечная рента с начислением процентов ежеквартально. Формула современной стоимости обычной ренты с начислением процентов ежеквартально:

Найдем предел этой формулы при неограниченном увеличении n:

Отсюда:

грн.

в) Вечная рента с непрерывным начислением процентов. Формула современной стоимости обычной ренты с непрерывным начислением процентов:

Найдем предел этой формулы при неограниченном увеличении n:

Отсюда:

=57639,74 грн.

Таким образом, на счет необходимо положить 62500 грн. при ежегодном начислении процентов, 58872,51 грн. при ежеквартальном начислении процентов, 57639,74 грн. при непрерывном начислении процентов.

Наращенная сумма (современная стоимость) ренты пренумерандо определяется как произведение наращенной суммы (современной стоимости) соответствующей ренты постнумерандо на коэффициент, приведенный в таблице 6.1. для различных видов рент:

Таблица 6.1 – Коэффициенты для определения наращенной суммы и современной стоимости рент пренумерандо

Виды ренты	Начисление процентов
	Один раз в год	m раз в год	Непрерывно
Годовая	(1+i)
p - срочная
r - срочная

Пример 4. Фирма создает резервный фонд в форме банковского депозитного вклада. Для этого в начале каждого месяца на протяжении 2-х лет вносится по 1000 грн. Банк начисляет проценты ежемесячно по сложной процентной ставке 20 % годовых. Определить размер фонда в конце срока операции.

Решение:

Размещение денег на депозитном вкладе в начале каждого месяца и с ежемесячным начислением процентов рассматривается как p-срочная рента пренумерандо, причем m=p, размер фонда в конце срока операции – наращенная сумма данной ренты, формула которой следующая:

Расчет произведем с помощью таблиц приложения Е

грн.

Таким образом на депозитном вкладе будет сумма 19292,2 грн.

Обобщающие характеристики (наращенная сумма и современная стоимость) для ренты, в которой поток платежей рассматривается как непрерывный процесс, получаются из формул (6.4) и (6.6) соответственно с помощью предельного перехода при .

При разработке контрактов и условий финансовых операций возникают ситуации. когда задана одна из характеристик – наращенная сумма или современная стоимость, а необходимо определить либо размер платежа по ренте, либо срок ренты, либо процентную ставку.

Пример 5. Для создания благотворительного фонда в сумме 100000 грн. за 2 года ежеквартально выделяется некоторая сумма денег, которую размещают на депозитный счет в банке под 16 % годовых. Начисляемых ежеквартально. Какую сумму необходимо размещать ежеквартально на депозитный счет?

Решение:

Ежеквартальное размещение денег на счете рассматривается как p- срочная (p=4) финансовая рента с начислением процентов ежеквартально, формула наращенной суммы данной ренты имеет следующий вид;

Найдем платеж по ренте:

Расчеты проведем по таблицам приложения Е.

грн

Таким образом, при ежеквартальном размещении на счете 11138,98 грн через 2 года будет создан фонд в 100000 грн.

Формулы для расчета срока постоянных рент постнумерандо приведены в приложении И.

Пример 6. Определить, какой срок необходим для погашения в рассрочку суммы 20000 грн,, при условии, что ежемесячно вносится по 1000 грн., а на накопления начисляются проценты ежемесячно по ставке 24 % годовых.

Решение:

По формуле определения срока современной стоимости p-срочной ренты с начислением процентов m раз в году (m=p) из приложения И:

2,15 года

Таким образом, для погашения в рассрочку 20000 грн. необходимо 2,15 года.

Для определения процентной ставки используется следующая интерполяционная формула:

(6.5)

где a_d и a_l – табличные значения коэффициентов наращения или приведения рент для верхнего и нижнего уровня ставок (i_d, i_l);

a - значение коэффициента наращения или приведения, для которого определяется размер ставки.

Пример 7. Предполагается путем ежегодных взносов постнумерандо по 7500 грн. в течение 4 лет создать фонд в размере 40000 грн. Какова должна быть годовая процентная ставка?

Решение: Данная операция рассматривается в виде годовой финансовой ренты, из формулы наращенной суммы годовой ренты с начислением процентов один раз в год, определяем коэффициент наращения:

Находим по таблицам коэффициентов наращения (приложение Е) диапазон процентных ставок, для которых коэффициенты наращения для срока 4 года находятся в интервале 19 % – 20 %.

FVIFA_4,19=5,29126 (для процентной ставки 19 %)

FVIFA_4,20 =5,368 (для процентной ставки 20 %)

19,5 %

Таким образом, процентная ставка в 19,5 % позволит создать фонд в размере 40000 грн.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Виды потоков платежей и их основные параметры.

2. Классификация финансовых рент.

3. Параметры финансовых рент.

4. Вечная рента.

5. Параметры рент пренумерандо.

6. Определение параметров постоянных рент при известной наращенной сумме.

7. Определение параметров постоянных рент при известной современной стоимости.

Задачи

1. Финансовая рента состоит из k равных по величине платежей R, которые следуют с периодичностью r лет (r > 1). Сложные проценты по ставке i начисляются один раз в год. Первая выплата производится в конце года r. Определить:

а) современную величину и наращенную сумму ренты;

б) как изменятся эти характеристики при условии, что платежи осуществляются в начале каждого периода?

2. Клиент вкладывает 2500 грн. в конце каждого года в банк, выплачивающий проценты по ставке 18 % сложных годовых. Определить, какая сумма будет на счете клиента: а) через 3 года, б) через 10 лет?

3. Господин Сидоров хочет накопить за 6 лет 40000 грн., осуществляя: а) ежегодные, б) ежеквартальные, в) ежемесячные равные вклады в банк, который выплачивает проценты по ставке 18 % годовых (сложных). Определить, какие взносы должен осуществлять господин Сидоров?

4. Предприятие создаёт фонд для постройки нового здания, вкла­дывая в него каждые 4 года 15000 грн. Для создания фонда в банке открыт депозитный счет, по которому начисляются проценты по ставке: а) 16 % сложных годовых, б) j4 = 16 % годовых. Какая сумма будет в фонде через 16 лет?

5. Банк выплачивает по депозитному вкладу проценты по ставке j₄ = 24 %. Клиент вкладывает в этот банк ежегодно 800 грн., осуществляя равные вклады: а) в конце каждого квартала, б) ежемесячно. Какая сумма будет на счету этого клиента через 5 лет?

6. Банк по депозитному вкладу начисляет непрерывные проценты по ставке (силе роста)  = 18 %. Клиент вкладывает в этот банк в конце каждого года 5000 грн. Определить, какая сумма будет на его счете через 7 лет?

7. Текущая стоимость обычной ренты со взносами размером 650 грн. в конце каждого месяца и начислением 14 % годовых один раз в год равна 20000 грн. Определить срок ренты и наращенную сумму.

8. Фирма создает резервный фонд и для этого ежемесячно переводит в банк 8000 грн. Годовая процентная ставка при начислении процентов один раз в год – 16 %. Определить, через какое время на счете фирмы будет 30000 грн.?

9. Пенсионер хочет купить аннуитет, по которому он будет получать в конце года 4000 грн. По статистическим расчетам страховой компании продолжительность жизни для возраста пенсионера 25 лет. Процент по аннуитету, предлагаемый компанией, равен 18 % годовых. Определить, какую сумму пенсионер должен заплатить за этот аннуитет.

10. Наращенная стоимость срочной ренты с ежемесячными взносами в начале каждого месяца по 800 грн. и ежемесячным начислением процентов равна 40000 грн. Номинальная годовая процентная ставка – 24 %. Определить срок ренты.

11. Пенсионер вкладывает в начале каждого месяца в банк по 50 грн. под 16 % годовых. Определить, через какое время он накопит сумму, достаточную для покупки холодильника стоимостью 3000 грн. Проценты начисляются ежемесячно.

12. Инвестор покупает нефтеносный участок, который будет приносить в течение 20 лет доход 5000 грн. ежеквартально, по­сле чего запасы нефти истощатся, а участок не будет представлять ценности. Инвестор желает получать 12 % ежегодного дохода на вложенную сумму. Определить, какую максимальную сумму инвестор может заплатить за участок.

13. Пенсионер собирает деньги на покупку холодильника стоимостью 3000 грн.. Для этого он хочет осуществлять ежемесячные взносы на депозитный счет в банке, который начисляет проценты по ставке 20 % годовых с ежемесячной капитализацией. Определить минимальный ежемесячный взнос для накопления требуемой суммы за 2 года.

14. Сумма инвестиций, осуществленных за счет привлеченных средств, равна 180 000 грн.. Предполагается, что отдача от них составит 50 000 грн. ежегодно получаемых в конце года. Определить:

а) за какой срок окупятся инвестиции, если на долг начисляются проценты по ставке 18 % годовых;

б) как следует изменить финансовый поток, чтобы в случае дробного ответа скорректировать срок окупаемости на наименьшее целое число лет, не превосходящее срока окупаемости инвестиции.

15. Перед выходом на пенсию г-н Фёдоров хочет обеспечить себе ежегодный доход неограниченно долго в сумме 5000 д.ед.: а) ежеквартально, б) ежемесячно. Определить, какую сумму он должен положить для этого на депозитный вклад при капитализации 17 % годовых?

16. Владелец дома планирует произвести через 5 лет капитальный ремонт, на который ему потребуется 120000 грн. Он хочет ежегодно вносить на депозитный вклад для этой цели 6000 грн. Определить какая минимальная процентная ставка должна быть на депозитный вклад, чтобы накопить необходимую сумму?

17. Отец собирается положить на депозитный вклад своего сына 18000 грн., чтобы тот в течение 5 лет учёбы в университете мог снимать в конце каждого месяца со счёта 400 грн., исчерпав весь вклад к концу учёбы. Определить, какая минимальная процентная ставка обеспечит данную операцию.

18. Сравниваются два варианта строительства некоторого объекта. Первый требует разовых вложений в сумме 600 000 грн. и капитального ремонта стоимостью 50000 грн. каждые 2 года. Для второго затраты на создание равны 700 000 грн., на капитальный ремонт – 40000 грн. каждые 3 года. Расчет производится на 12 лет. Какой вариант окажется предпочтительнее при условии, что прогнозируемая ставка процента:

а) не превысит 15 %;

б) не опустится ниже 20 %.

19. Организация получила кредит стоимостью 90000 грн. на 1 год. Годовая процентная ставка за пользование кредитом 24 % годовых. Платежи по кредиту осуществляются ежемесячно в начале месяца равными суммами. Определить величину месячного платежа.

20. Найти наращенную сумму и современную стоимость аннуитета, выплачивающего 3000 грн. в конце каждого года в течение 5 лет, если начисление процентов осуществляется с использованием силы роста 15 % годовых.

21. Оформляется контракт, по которому выплачивается 500 грн. в конце каждого полугодия в течение 7 лет и дополнительно 2000 грн. в конце этого срока. Определить, чему равна современная стоимость контракта, если деньги стоят 17 % годовых?

22. Страховой полис подразумевает платежи 700 грн в начале каждого квартала в течение 25 лет и выплатит 10000 грн в случае смерти страхователя. Сколько времени должна продолжаться жизнь страхователя, чтобы компания не разорилась при стоимости денег 14 % эффективно?

23. Клиент изъявил желание каждые три месяца вносить 2000 грн. на депозитный счет. Необходимо найти, когда это более выгодно делать, в начале или в конце квартала. Следует учесть, что банк начисляет сложные проценты в размере 24 % годовых ежеквартально. Срок хранения вклада 1 год.

24. Фирмой предусматривается создание в течение трех лет фонда развития. Фирма имеет возможность ассигновать на эти цели ежквартально 15000 грн., помещая их в банк под 20 % годовых, Какая сумма потребовалась бы фирме для создания фонда такого же размера, если бы она поместила денежные средства в банк на три года под 20 % годовых?

25. Земельное хозяйство стоит 800000 грн. Фермер платит 50000 грн. наличными и будет выплачивать оставшийся долг в течение следующих 10 лет равными платежами ежемесячно. Определить, какими будут эти платежи, если при операции используется процентная ставка 23 % годовых.

26. Оценить с помощью модели постоянной годовой финансовой ренты пренумерандо на 01.01 текущего года наращенную сумму платежей 10000 грн. от 01.01.2005 г. и 11000 грн от 01.01.2006 г., если платежи обеспечивают доходность 20 % годовых.

Тесты

Возможно несколько вариантов ответов

1. Поток платежей - это:

a) рост инвестированного капитала на величину процентов;

b) распределенные во времени выплаты и поступления;

c) перманентное обесценивание денег;

d) платеж в конце периода.

2. Вечная рента - это:

a) рента, подлежащая безусловной выплате;

b) рента с выплатой в начале периода;

c) рента с бесконечным числом членов;

d) рента с неравными членами.

3. Аннуитет - это:

a) частный случай потока платежей, когда члены потока только положительные величины;

b) частный случай потока платежей, когда число равных временных интервалов ограничено;

c) частный случай потока платежей, когда члены равны и имеют одинаковую направленность, а периоды ренты одинаковы.

4. Финансовая рента называется постоянной, если ее члены:

a) изменяются во времени согласно арифметической прогрессии;

b) изменяются во времени с постоянным относительным приростом;

c) равны между собой;

d) изменяются во времени нерегулярно;

e) изменяются во времени с постоянным абсолютным приростом.

5. Финансовая рента называется р-срочной , если платежи по ней выплачиваются:

a) один раз в год;

b) р раз за весь срок финансовой операции;

c) вечно;

d) р раз на протяжении года;

e) в начале каждого года;

6. Под наращенной суммой финансовой ренты понимают:

a) сумму всех ее членов;

b) сумму всех ее членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени;

c) сумму всех ее членов с начисленными на них к концу срока ренты процентами;

d) сумму всех ее членов, дисконтированных на начало срока ренты;

e) общую сумму накопленной задолженности.

7. Наращенная величина годовой постоянной обычной ренты определяется по формуле:

a)

b)

c) *(1+i)

d) *(1+i)

8. Наращенная сумма годовой ренты пренумерандо рассчитывается по формуле:

a);

b) ;

c) *(1+i);

d) *(1+i).

9. Современная величина годовой обычной ренты определяется по формуле:

a) ;

b) ;

c) *(1+i);

d) *(1+i).

10. Современная величина годовой ренты пренумерандо определяется по формуле:

a) ;

b) ;

c) *(1+i);

d) *(1+i).

11. Для определения члена ренты необходимо знать:

a) наращенную сумму;

b) первоначальную сумму;

c) первоначальную или наращенную сумму;

d) процентную ставку;

e) срок ренты.

12. Для оценки бессрочного аннуитета не имеет смысла определение:

a) современной величины аннуитета;

b) наращенной величины аннуитета;

c) члена ренты.

13. Верно ли утверждение, что наращенная сумма вечной годовой ренты бесконечна ?

a) да;

b) нет.

14. Если платежи по ренте производятся в начале временных периодов, то рента называется:

a) постнумерандо;

b) пренумерандо.

15. Может ли современная величина годовой ренты быть меньше ее годового платежа?

a) да;

b) нет.

16. В потоке платежей разрешается переставлять платежи произвольным образом. Как их надо переставить, чтобы современная величина потока была наибольшей:

a) в порядке возрастания;

b) в порядке, который дает наименьшую наращенную сумму;

c) в порядке, который дает наибольшую наращенную сумму;

d) в порядке убывания.