Теорема об оценке погрешности приближенного корня.

Пусть точный, а - приближенный корни уравнения , находящиеся на одном и том же отрезке , причем . В этом случае справедлива оценка

. (14.5)

Доказательство. Применяя теорему Лагранжа, можем написать:

, где промежуточное значение между и .

Так как и , , получаем

Поэтому (14.6)

Пример. Приближенным корнем уравнения

является Оценить абсолютную погрешность этого корня.

Решение. Имеем

Возьмем таким, чтобы имел противоположный знак:

Убедились, что . Так как монотонно возрастает на этом участке, то ее наименьшим значением в данном интервале является .

Отсюда и по формуле (14.5) получаем

.

Графическое решение уравнений.

Действительные корни уравнения можно определить как абсциссы точек пересечения графика функции с осью . Если это уравнение не имеет между собой близких корней, то они легко отделяются.

На практике часто бывает удобным заменить уравнение

равносильным ему уравнением , где - функции, более простые, чем функция . (Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые корни).

Корни исходного уравнения получаем как абсциссы точек пересечения графиков .

Пример. Графически решить уравнение .

Решение. Запишем последнее уравнение в виде равенства , и строим два графика .

Построив эти кривые по точкам (особенно тщательно в интервале (2, 3) ), приближенно найдем корень .

Метод половинного деления (дихотомия).

Пусть дано уравнение

(14.7)

и при непрерывности .

Для нахождения корня уравнения (14.7), делим отрезок пополам.

Далее выбираем ту из половин , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Новый отрезок

снова делим пополам и проводим то же рассмотрение.

В результате на каком-то этапе получаем или точный корень уравнения (14.7)

или бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков ,

таких, что . (14.8) Очевидно, что . (14.9)

Так как левые концы образуют монотонную неубывающую ограниченную последовательность, а правые концы - монотонную не возрастающую ограниченную последовательность, то

.

.

корень уравнения.

Т.к. ,

то очевидно, что .

Метод половинного деления удобно применять для нахождения грубого значения корня данного уравнения. При увеличении точности значительно возрастает объем вычислительной работы.

Метод половинного деления легко реализуется на электронных счетных машинах. Программа вычисления составляется так, чтобы машина находила значение в середине каждого из отрезков и выбирала соответствующую его половину.

Пример. Методом половинного деления уточнить корень уравнения

, лежащий на отрезке .

Решение. Последовательно имеем:

За можно принять .