- •1. Погрешности и их классификация
- •2. Приближенные числа и действия с ними.
- •Правила записи приближенных чисел.
- •Округление чисел
- •3. Уменьшение погрешностей
- •4. Устойчивость. Корректность. Сходимость.
- •5. Вычисление значений функций. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера.
- •Вычисление значений рациональных дробей
- •Приближенное нахождение сумм числовых рядов.
- •Вычисление значений аналитической функции
- •Вычисление значений показательной функции
- •Вычисление значений логарифмической функции
- •Вычисление значений синуса и косинуса.
- •Вычисление значений гиперболического синуса
- •Вычисление значений гиперболического косинуса.
- •Применение метода итерации для приближенного вычисления значений функции
- •Вычисление квадратного корня
- •6. Приближение функций При решении задач постоянно встречается необходимость замены одной функции некоторой другой функцией .
- •6.1.2. Равномерное приближение.
- •6.2. Многочлены Тейлора.
- •6.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •6.4. Линейная интерполяция.
- •7. Минимизация погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева.
- •8. Интерполяция с равноотстоящими узлами.
- •9. Конечные и разделенные разности.
- •10.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •11. Интерполирование сплайнами.
- •12. Численное дифференцирование.
- •Погрешность численного дифференцирования.
- •13. Численное интегрирование.
- •Для удобства в вычислениях вместо дробных индексов вводят целочисленные, т.Е.
- •И формула Симпсона принимает вид
- •Еще одной формулой численного интегрирования является следующая, которая называется формулой Ньютона:
- •Остаточный член имеет вид
- •В последней формуле число узлов обязательно равно .
- •Особые случаи численного интегрирования.
- •Применение метода Монте-Карло к вычислению определенных и кратных интегралов.)
- •Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Отделение корней.
- •Теорема об оценке погрешности приближенного корня.
- •Графическое решение уравнений.
- •Метод половинного деления (дихотомия).
- •Метод хорд (метод пропорциональных частей)
- •Метод Ньютона (метод касательных).
- •Видоизмененный (упрощенный) метод Ньютона.
- •Комбинированный метод (хорд и касательных).
- •Метод итераций
- •Оценка погрешности приближения
- •15. Метод итерации для системы двух уравнений
- •Метод Гаусса.
- •Применение метода Гаусса для вычисления определителей.
- •Метод итерации для решения систем уравнений
- •Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Так, например, уравнение
- •Является уравнением 1-го порядка.
- •В ходе поиска общего решения часто приходят к соотношению вида
- •Запишем это разложение в виде
- •Метод Эйлера с пересчетом.
- •Решение это приводим:
- •Видно, что при большом числе узлов метод Эйлера может привести к заметным погрешностям, в таких случаях предпочитают пользоваться численными методами высших порядков.
- •Метод Адамса.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
При решении большинства практических научно-технических задач их абсолютно точные решения найти не всегда удается. Это происходит потому, что искомое решение обычно не выражается в известных функциях.
В связи с этим, в процессе развития математики как науки возникли численные методы, которые приобретают все большее значение. Исключительную роль эти методы играют сегодня в связи с огромным влиянием математических методов в различных областях науки и техники и где применение этих методов немыслимо без современных высокопроизводительных ЭВМ.
Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и логическим действиям над числами. Именно эти действия и являются основой работы ЭВМ.
С помощью численных методов вычисляют приближенные значения функций (с различной точностью в зависимости от решаемой задачи); производят замену функций, заданных в табличном виде yi(xi) простыми функциями, такими как многочлены некоторой степени относительно x (такая замена называется аппроксимацией; решают нелинейные или трансцендентные уравнения; решают системы уравнений; вычисляют определенные интегралы; решают дифференциальные уравнения и т.д.
1. Погрешности и их классификация
Решение, получаемое численным методом, обычно содержит некоторую погрешность. Ее источниками являются: 1) несоответствие математической задачи (математической модели) изучаемому реальному явлению; 2) погрешность исходных данных (входных параметров); 3) погрешность метода решения; 4) вычислительная погрешность (погрешность округлений).
Погрешность в решении, вызванная первыми двумя источниками, называется неустранимой. Эта погрешность присутствует всегда, подобно погрешности функции, возникающей за счет погрешности аргументов.
Погрешность метода возникает в силу того, что численные методы сами по себе являются приближенными, т.е. даже если бы не было источников неустранимых погрешностей и не было бы погрешностей округления, то решение задачи все равно содержало бы погрешность. Отчасти это происходит потому, что численным методом обычно решается другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу. В ряде же случаев используемый численный метод строится на базе бесконечного процесса, прерываемого на некотором шаге, что дает лишь приближенное решение.
В численных методах изучению погрешности метода уделяется значительное внимание. Зная зависимости погрешности метода от контролируемых параметров, можно принимать соответствующие меры по оптимизации этих параметров с целью уменьшения погрешности. Очевидным путем уменьшения погрешности решения является выбор такого метода, который дает наименьшие погрешности по сравнению с другими методами.
Технически наиболее сложным является вопрос учета погрешностей округления в арифметических действиях. При ручных вычислениях, когда действий немного, погрешности округления учитываются с помощью способов, изложенных ниже. Они основываются на элементарной теории погрешностей. Примерно такая же ситуация складывается и при машинных расчетах, когда число действий относительно невелико (например, несколько тысяч). Здесь погрешности округления не проявляются, так как в ЭВМ числа представляются с десятью и более десятичными значащими цифрами, а окончательный результат редко бывает нужен более чем с 5 десятичными значащими цифрами.
В случае же, когда задача требует для своего решения, скажем, 107 и более арифметических действий, учет влияния погрешностей округления в каждом действии не реален. При таком учете получится слишком завышенная оценка предельной погрешности, так как ей отвечают самые неблагоприятные случаи, когда от действия к действию абсолютные погрешности накапливаются. В действительности погрешности округления ведут себя достаточно случайно как по величине, так и по знаку. Поэтому есть предпосылки для их взаимной компенсации.
Для решения одной и той же задачи могут применяться различные приближенные методы, в которых чувствительность к погрешностям округления различна.
Выбор численного метода. Численный метод может считаться удачно выбранным, если погрешность метода в несколько раз меньше неустранимой погрешности, а погрешность, возникающая за счет округлений, по крайней мере, в несколько раз меньше погрешности метода.
Если неустранимая погрешность отсутствует, то погрешность метода должна быть несколько меньше заданной точности решения.
К численным методам предъявляется еще ряд других требований. Предпочитается метод, реализуемый с помощью меньшего числа действий, требующий меньшей памяти ЭВМ, являющийся логически более простым (т.е. более быстрая реализация на ЭВМ). Обычно перечисленные требования противоречат друг другу, поэтому часто при выборе численного метода приходится соблюдать компромисс между ними.