Тождественные преобразования алгебраических выражений

Определение. Алгебраическим выражением называется выражение, получаемое из постоянных и переменных при помощи операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня.

Примеры алгебраических выражений:

Определение. Областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) алгебраического выражения E(x₁, x₂, ..., x_n) (D(E)) называется множество всех наборов (x₁, x₂, ..., x_n), для которых выражение E(x₁, x₂, ..., x_n) имеет смысл.

Например, ОДЗ выражения является D(E) = {(x,y)  |  x  R,   y  R,   xy ≠ 0}, ОДЗ выражения является множество {(x,y,z)  |  x, y, z  R,   xy ≥ 0}.

Определение. Алгебраические выражения E₁ и E₂ называются тождественно равными на множестве M  D(E₁)D(E₂), если при любых значениях переменных из M соответствующие числовые значения этих выражений равны.

Например, на множестве [0;+),   на множестве (-;0],   на множестве R\{-1},   (x + y)² = x² + 2xy + y² на множестве {(x,y)  |  x  R,   y  R}.

Определение. Тождественным преобразованием алгебраического выражения на множестве M  D(E) называется замена этого выражения на тождественно равное ему на множестве M

Замечание. Отметим, что иногда опускают множество, на котором алгебраические выражения тождественно равны, имея при этом ввиду их тождественное равенство на пересечении областей допустимых значений.

Например,

При выполнении тождественных преобразований оказываются полезными следующие формулы.

I. Формулы сокращенного умножения

1. (a ± b)² = a² ± 2ab + b²,

2. (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³,

3. a² - b² = (a - b)(a + b),

4. a³ ± b³ = (a ± b)(a² ab + b²).

Эти формулы получаются как следствия из более общих формул:

5. aⁿ - bⁿ = (a - b)(a^n-1 + a^n-2b + ... + ab^n-2 + b^n-1)     (n  N),

6. a²ⁿ⁺¹ + b²ⁿ⁺¹ = (a + b)(a²ⁿ - a^2n-1b + ... - ab^2n-1 + b²ⁿ)     (n  N),

7. (бином Ньютона)

где n  N,         n! = 1·2·3·...·n,     0! = 1.

II. Свойства степеней

Следующие свойства справедливы для любых положительных чисел a и b и любых действительных чисел  и .

1. a⁰ = 1;

2. a^{ + } = a^ · a^;

3. 

4. (a^)^ = a^;

5. (ab)^ = a^ · b^;

6. 

7. 

Замечание 1. Отметим, что отрицательные числа также можно возводить в некоторые степени (целые и, более общо, рациональные вида где m - целое, n - натуральное).

Замечание 2. 0^ = 0, для любого  > 0.

III. Свойства радикалов

1. 

2.   если a ≥ 0,   b ≥ 0,   k  N,

3.   если ab ≥ 0,   k  N.

4. 

5.   где a ≥ 0, если m - четно, a  R, если m - нечетно.

6.   где a ≥ 0,   b > 0,   n - четно или b ≠ 0, a  R, если n - нечетно.

7. 

8.   где a ≥ 0, если m - четно или n четно, a  R, если m·n - нечетно.

9. 

10.   где a > 0, b > 0, c > 0 и a² ≥ b²c.

Пример 1. Определить ОДЗ алгебраических выражений:

Решение. a) ОДЗ данного выражения определяется из неравенства x + x² - 2x³ ≥ 0, которое решаем при помощи метода интервалов:

x + x² - 2x³ ≥ 0      x(1 + x - 2x²) ≥ 0      x(2x + 1)(1 - x) ≥ 0      x  (-;-¹/₂][0;1].

Таким образом, D(E) = (-;-¹/₂][0;1].

b) Отметим, что выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда

	x2 + y ≠ 0,
	|x - y| ≠ 0,
	x + y ≠ 0,

откуда следует, что D(E) = {(x,y)  |  x ≠ y,   x ≠ -y}.

c) Так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, а корень второй степени существует только из неотрицательных выражений, то для определения ОДЗ получим систему

b + c ≠ 0, b2c + c2b ≠ 0, d ≥ 0,



b + c ≠ 0, bc(b + c) ≠ 0, d ≥ 0,



b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, d ≥ 0.

Таким образом, ОДЗ исходного выражения равна {(a,b,c,d)  |  b + c ≠ 0,   b ≠ 0,   c ≠ 0,   d ≥ 0}.

Логарифмы, их свойства.

    - логарифм числа b по основанию a.

     Основное логарифмическое тождество:

      - десятичный логарифм (логарифм по основанию 10):

      - натуральный логарифм (логарифм по основанию e):

     Переход от одного основания к другому:

     

     В частности, ( - модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным).

     Свойства логарифмов (u, v >0):

     

     

     

Тригонометрия. Углы и их измерение. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла.

Основное тригонометрическое тождество. Формулы сложения (формулы для двойных и половинных углов).

  Основные тригонометрические соотношения:

Формулы двойного угла

Формулы тройного угла

Формулы суммы и разности аргументов

 

Преобразование суммы и разности в произведение:

 

 Формулы преобразования произведения в сумму

 

 

Формулы понижения степени

Формулы половинного аргумента

 

Формулы приведения

Знаки тригонометрических функций в четвертях

 

Значения тригонометрических функций некоторых углов

	0	300	450	600	900	1800	2700	3600
	0				1	0	-1	0
	1				0	-1	0	1
	0		1		–	0	–	0
	–		1		0	–	0	–

 

 

Одночлен и многочлен.

Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена. Понятие функции. Способы задания функции. Область определения. Множество значений функции.

График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума функции.

Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма).

Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.

Определение и основные свойства функций: линейной, квадратичной у = ах2 + bх + с , степенной у = ахn (п N),y = k/x, показательной у = ах, а > 0, логарифмической, тригонометрических функций (у = sin х, у = cos х, у = tg x, у = ctg x), арифметического корня у = x.

Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях. Неравенства. Решение неравенств. Понятие о равносильных неравенствах. Система уравнений и неравенств. Решения системы.

Арифметическая и геометрическая прогрессия. Формула n-ого члена и суммы первых п членов арифметической прогрессии. Формула n-ого члена и суммы первых п членов геометрической прогрессии.

Определение производной. Еѐ физический и геометрический смысл. Производные функций у = sin х;у = cos х;у = tg x;у = ах;у = хn(п Z), y = ln х.