46. Исследование необходимых условий экстремума второго порядка. Условия Лежандра и Якоби.

Решить уравнение Эйлера для задачи (6.1.1) – это значит проверить необходимое условие экстремума первого порядка: Df(x)=0. Однако, для задач без ограничений известны также необходимые условия второго порядка, использующие вторую производную D²f(x).

Всюду в этом пункте мы предполагаем, что x(t) - это допустимая экстремаль задачи, найденная при решении уравнения Эйлера.

Найдем второй дифференциал от f при условии, что L∈C²(R×Rⁿ×Rⁿ). Как уже было найдено для функции φ_h(t) =f(x+th) = ∫_{[a; b]} L(s, x(s)+th(s), x'(s)+th'(s)) ds, ее производная равна

φ_h'(t) = ∫_{[a; b]} L_x(s, x(s)+th(s), x'(s)+th'(s))h(s) + L_{x '}(s, x(s)+th(s), x'(s)+th'(s))h'(s) ds, аналогично

φ_h''(0) = ∫_{[a; b]} h(s)^TL_xx(s, x(s), x'(s))h(s) + 2h(s)^TL_{xx '}(s, x(s), x'(s))h'(s) + h'(s)^TL_{x 'x '}(s, x(s), x'(s))h'(s)ds.

Таким образом, если функционал f дважды дифференцируем, то

D²f(x)(h;h) = ∫_{[a; b]} h(s)^TL_xx(s, x(s), x'(s))h(s) + 2h(s)^TL_{xx '}(s, x(s), x'(s))h'(s) + h'(s)^TL_{x 'x '}(s, x(s), x'(s))h'(s)ds.

Докажем, что функционал f действительно дважды дифференцируем.

По формуле Тейлора для функций нескольких переменных для каждого t∈[a, b] найдется число Q(t), таое что |Q(t)|≤1 и

L(t, x(t)+h(t), x'(t)+h'(t)) = L(t, x(t), x'(t)) +{ L_x(t, x(t), x'(t))h(t) + L_x'(t, x(t), x'(t))h'(t)} +

+ ¹/₂ {h(t)^TL_xx(t, x(t)+Q(t)h(t), x'(t)+Q(t)h'(t))h(t) + 2h(t)^TL_{xx '}(t, x(t)+Q(t)h(t), x'(t)+Q(t)h'(t))h'(t) +

+ h'(t)^TL_{x 'x '}(t, x(t)+Q(t)h(t), x'(t)+Q(t)h'(t))h'(t)}.

Сделаем некоторые обозначения:

L_{x x} (t) = L_{x x} (t, x(t), x'(t)); L_{x x '} (t) = L_{x x '} (t, x(t), x'(t)); L_{x ' x '} (t) = L_{x ' x '} (t, x(t), x'(t));

L^~_{x x} (t) = L_{x x} (t, x(t)+Q(t)h(t), x'(t)+Q(t)h'(t)); L^~_{x x '} (t) = L_{x x '} (t, x(t)+Q(t)h(t), x'(t)+Q(t)h'(t));

L^~_{x ' x '} (t) = L_{x ' x '} (t, x(t)+Q(t)h(t), x'(t)+Q(t)h'(t));

Тогда:

f(x+h) - f(x) - Df(x)h - ¹/₂ D²f(x)[h,h] =

= ¹/₂ ∫_{[a; b]} h(s)^T{L^~_xx(s) - L_xx(s)}h(s) + 2h(s)^T{L^~_{xx '}(s) - L_{xx '}(s)}h'(s) + h'(s)^T{L^~_{x 'x '}(s) - L_{x 'x '}(s)}h'(s)ds.

Нетрудно показать (используя непрерывность функций L_xx , L_xx’и L_x’x’), что

∫_{[a; b]} h(s)^T{L^~_xx(s) - L_xx(s)}h(s) + 2h(s)^T{L^~_{xx '}(s) - L_{xx '}(s)}h'(s) + h'(s)^T{L^~_{x 'x '}(s) - L_{x 'x '}(s)}h'(s)ds = o(||h||²).

Таким образом,

D²f(x)(h;h) = ∫_{[a; b]} h(s)^TL_xx(s)h(s) + 2h(s)^TL_{xx '}(s)h'(s) + h'(s)^TL_{x 'x '}(s)h'(s)ds.                                              (6.4.1)

Рассмотрим необходимые условия 2-го порядка: если x – точка минимума (максимума) функционала f, то для всех h∈M₀ выполняется неравенство g(h) = D²(x)[h,h] ≥ 0 (соответственно, g(h) = D²(x)[h,h] ≤ 0).

На эти условия можно посмотреть как на другую простейшую вариационную задачу, а именно (в случае минимума):

g(h) = ∫_{[a; b]} h(t)^TL_xx(t)h(t) + 2h(t)^TL_{xx '}(t)h'(t) + h'(t)^TL_{x 'x '}(t)h'(t)dt  → min.

h∈M₀={C¹[a, b] | h(a)=0, h(b)=0}.                                                   (6.4.2)

При этом, если h₀ – решение задачи (6.4.2), то достаточные условия для задачи (6.1.1) говорят о том, что g(h₀) ≥ 0 (при других h значение g(h) будет еще больше). Нетрудно проверить, что при h₀=0 получается g(h₀)=0.

Поскольку (6.4.2) – простейшая вариационная задача, для нее тоже должно выполняться уравнение Эйлера.

Обозначим через F(t, h, h') = h(t)^TL_xx(t)h(t) + 2h(t)^TL_{xx '}(t)h'(t) + h'(t)^TL_{x 'x '}(t)h'(t) лагранжиан данной задачи.

Тогда F_h = 2L_xx(t)h(t) + 2L_{xx '}(t)h'(t); F_{h '} = 2{L_xx' (t)}^Th(t) + 2L_{x 'x '}(t)h'(t).

Таким образом, для каждого решения h₀ задачи (6.4.2) выполняется уравнение Эйлера

^d/_dt F _{h '} (t, h₀, h₀')= F _h (t, h₀, h₀'), т.е.

^d/_dt ({L_xx' (t)}^Th₀(t) + L_{x 'x '}(t)h₀'(t)) = L_xx(t)h₀(t) + L_{xx '}(t)h₀'(t)             (6.4.3)

Определение. Уравнение (6.4.3) называется уравнением Якоби для задачи 6.1.1.

Рассмотрим функции h(t) вида Hu(t), где H – постоянный вектор, ||H||² = H^TH=1, u(t) – скалярная функция. В этом случае h∈M₀, если u∈{C¹[a, b] | u(a)=0, u(b)=0}, причем

g(h) = ∫_{[a; b]} H^TL_xx(t)H u²(t) + 2H^TL_{xx '}(t)H u(t)u'(t) + H ^TL_{x 'x '}(t)H (u'(t))²dt =

= ∫_{[a; b]} (H^TL_xx(t)H - ^d/_dt H^TL_{xx '}(t)H) u²(t) + H ^TL_{x 'x '}(t)H (u'(t))²dt =

= ∫_{[a; b]} S_H(t) u²(t) + R_H(t) (u'(t))²dt .

где S_H(t) = H^T(L_xx – ^d/_dt(L_xx'))H, R_H(t) = H^T(L_x'x')H.

При фиксированном H можно решать задачу минимизации, считая переменной функцию u. В этом случае также для решения u₀ выполняется уравнение Эйлера: ^d/_dt (R_H(t) u'(t)) = S_H(t) u(t).

Покажем, что из условия g(h)≥0 для всех h следует, что R_H(t)=H^T(L_x'x')H ≥ 0 при всех H и всех t∈[a, b], т.е. для всех t∈[a, b] матрица L_x'x'(t) является неотрицательно определенной.

Теорема 6.4.1. Если x₀(t) – точка минимума (максимума) в задаче 6.1.1, то для всех t∈[a, b] матрица L_x'x'(t)= L_x'x'(t, x₀(t), x₀'(t)) является неотрицательно (неположительно) определенной.

Определение. Пусть x*(t) – допустимая экстремаль задачи 6.1.1, L_x'x'(t)= L_x'x'(t, x*(t), x*'(t)). Если для всех t∈[a, b] матрица L_x'x'(t) неотрицательно (положительно) определена, то говорят, что x*(t) удовлетворяет условию Лежандра для минимума (соответственно, усиленному условию Лежандра для минимума)).

Неположительная и отрицательная опредленность L_x'x'(t) дают условия Лежандра для максимума.

Замечание. С учетом данного определения теорему 6.4.1 можно сформулировать следующим образом: выполнение условия Лежандра является необходимым условием для решения задачи 6.1.1.

Определение. Если для точки с∈(a, b) найдется нетривиальное решение h₀ уравнения Якоби, удовлетворяющее условиям h₀(a) = h₀(с)=0, говорят, что точка c является точкой, сопряженной к точке a . Если на интервале (a, b) нет точек, сопряженных с точкой a, то говорят, что выполняется условие Якоби, если таких точек нет на полуинтервале (a, b] -- выполняется усиленное условие Якоби

Теорема 6.4.2. Если x* - решение задачи (6.1.1), для которого выполнено усиленное условие Лежандра, то для него выполнено и условие Якоби.