24. Дифференцируемость оператора Немыцкого.

Пусть L(t,x) - некоторая гладкая функция от вещественных переменных t и x (переменная x может быть и векторной), R[a; b] - множество функций, интегрируемых по Риману (c равномерной нормой).

Определение. Оператором Немыцкого (порожденным функцией L) назовем оператор

N: R[a; b] → R[a; b], который функции x(t) ставит в соответствие функцию L(t, x(t)).

Заметим, что пространство непрерывных функций С[a; b] является подпространством в R[a; b], а сужение оператора Немыцкого на С[a; b] принимает значения в С[a; b].

Оператор Немыцкого играет важную роль во многих задачах, поэтому мы изучим вопрос о его дифференцируемости.

Теорема 5.4.1. (о дифференцируемости оператора Немыцкого). Если функция L и ее частная производная L_x непрерывны, то соотвествующий оператор Немыцкого является непрерывно дифференцируемым в каждой точке x*, причем дифференциалом является оператор умножения на функцию L_x (t, x*(t)):

(DN(x*)h)(t) = L_x (t, x*(t))h(t).                                   (5.4.1)

Доказательство. Покажем, что оператор N дифференцируем по Гато, т.е.

||( N(x+th) - N(x) ) / t - DN(x)h || = max _{s∈[a; b]} (L(s, x(s)+th(s)) - L(s, x(s)) ) / t - L_x (s, x(s))h(s) ) → 0 при t→0.

По формуле о конечном приращении найдутся d(s)∈[0; 1], такие что

(L(s, x(s)+th(s)) - L(s, x(s)) ) / t - L_x (s, x(s))h(s) ) = [(L_x(s, x(s)+td(s)h(s)) - L_x (s, x(s)) ]h(s) .

Поскольку множество K= {(s, x(s)) | s∈[a, b]} ограничено и содержится в конечномерном пространстве, следовательно, оно предкомпактно. Функция L_x(s, x) непрерывна, и значит, равномерно непрерывна на компактах. Это означает, что  sup_{s∈[a; b]} [(L_x(s, x(s)+td(s)h(s)) - L_x (s, x(s)) ] → 0 при t→0.

В силу следствия 3 из теоремы о конечном приращении осталось показать, что при x → x* выполняется условие || DN(x) - DN(x*) || → 0.

Как известно из функционального анализа, норма оператора умножения на функцию равна супремуму модуля этой функции: || DN(x) - DN(x*) || = sup_{s∈[a; b]} |(L_x(s, x(s)) - L_x (s, x*(s))|. Необходимое утверждение следует из равномерной непрерывности функции L_x (s, x) на компакте K, который равен замыканию множества {(s, x*(s)) | s∈[a, b]}.

Теорема доказана.

Рассмотренная нами конструкция оператора Немыцкого может быть использована для построения более сложных операторов (которые таже часто называют операторами Немыцкого).

Следствие 1. Пусть ACR[a; b] - множество абсолютно непрерывных функций, чья производная интегрируема по Риману, C¹[a; b] - множество непрерывно дифференцируемых функций. Если функция L(t, x, x') и ее производные по переменным x и x' непрерывны, то оператор оператор N_R: ACR[a; b] → R[a; b], который функции x(t) ставит в соответствие функцию L(t, x(t), x'(t)) является непрерывно дифференцируемым, причем для всех h∈ACR[a; b] справедливо равенство

(DN_R(x*)h)(t) = L_x (t, x*(t),x* '(t)) h(t)+L_{x '} (t, x*(t), x* '(t)) h'(t).    (5.4.2)

Доказательство. Рассмотрим линейный ограниченный оператор

A: ACR[a; b] → R[a; b]: x(t) → y(t) = (x(t), x'(t)),

который функции x ставит в соответствие вектор из самой функции и ее производной. Тогда оператор N_R можно представить как композицию оператора Немыцкого N(y) = L(t, y1(t), y2(t)) и оператора A. Для дифференцируемости оператора N_R достаточно доказать дифференцируемость каждого компонента и воспользоваться теоремой о дифференцировании композиции:

DN(y)h = L_y1(t, y1(t), y2(t))h1(t)+L_y2(t, y1(t), y2(t))h2(t) = L_x(t, y1(t), y2(t))h1(t)+L_{x '}(t, y1(t), y2(t))h2(t);

DA(x)h = Ah = (h(t), h'(t));

DN_R(x*)h = DN[A(x)]DA(x)h  = L_x (t, x(t),x '(t)) h(t)+L_{x '} (t, x(t), x '(t)) h'(t).

Следствие доказано.

Замечание. Сужение N₁ оператора N_R на пространство C¹[a; b] также непрерывно дифференцируемо, его дифференциал вычисляется по той же формуле для h∈C¹[a; b].