Определение числа независимых узлов и контуров

Для определения числа независимых узлов и независимых контуров электрической цепи и, следовательно, числа независимых уравнений, составляемых на основании законов Кирхгофа, воспользуемся тем обстоятельством, что для линейной независимости системы уравнений достаточно, чтобы каждое из входящих в систему уравнений отличалось от остальных хотя бы одной переменной.

Общее число линейно независимых уравнений, которые можно составить для произвольной цепи на основании законов Кирхгофа, оказывается равным числу ветвей рассматриваемой цепи:

m+n=(q-1)+(p+q-1)=p.

1.5. Уравнение электрического равновесия цепей Основные задачи теории цепей

Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одним или несколькими входами и одним или несколькими выходами.

Рис. 1.34

В зависимости от исходных данных и конечной цели исследования в теории цепей различают две группы задач: задачи анализа и задачи синтеза.

Задача анализа цепи состоит в определении реакции цепи s(t) на заданное внешнее воздействие x(t).

Задача синтеза цепи заключается в нахождении цепи по заданной реакции цепи s(t) на некоторое внешнее воздействие x(t).

В частном случае задача анализа может сводиться к нахождению соотношений между реакциями цепи на отдельных выходах sj(t) и воздействиями xi(t), приложенным к определенным входам. Такие соотношения называются характеристическими (системными функциями, функциями) цепи. В зависимости от того, какая величина - частота или время - является аргументом в выражениях, описывающих соотношения между откликом и внешним воздействием, различают частотные и временные характеристики цепи.

Понятие об уравнениях электрического равновесия

Математически задача анализа электрической цепи сводится к составлению и решению системы линейно независимых уравнений, в которых в качестве неизвестных фигурируют токи и напряжения ветвей исследуемой цепи. Уравнения, решение которых, позволяет определить токи и напряжения ветвей электрической цепи, называются уравнениями электрического равновесия цепи. Число уравнений электрического равновесия должно быть равно числу неизвестных токов и напряжений.

На практике для анализа цепей используют различные методы составления уравнений электрического равновесия, в частности методы токов ветвей, напряжений ветвей, контурных токов, узловых напряжений, переменных состояния.

Рис. 1.37	Рис. 1.35	Рис. 1.36

Рис. 1.38	Рис. 1.39	Рис. 1.40

При анализе цепей из рассмотрения исключаются случаи, когда использование топологических уравнений приводит к результатам, противоречащим компонентным уравнениям. Задача анализа цепи в этом случае считается поставленной некорректно. Ранее отмечались два случая возникновения подобных противоречий: применение источника напряжения в режиме короткого замыкания и источника тока в режиме холостого хода. Аналогичные противоречия возникают при параллельном включении источников напряжения с различными задающими напряжениями, при последовательном включении источников тока с различными задающими токами, при использовании контуров, составленных только из источников напряжений, и сечений, образованных только из источников тока, при подключении источника постоянного напряжения к индуктивности или источника постоянного тока к емкости. Все задачи, рассмотренные на рисунках, становятся корректными при учете внутренних сопротивлений источников энергии.

Как было показано ранее, топологические уравнения являются алгебраическими, а компонентные уравнения идеализированных пассивных элементов могут быть как алгебраическими, так и дифференциальными или интегральными. Вследствие этого уравнение электрического равновесия цепи, составленные любым методом, представляют собой в общем случае систему интегродифференциальных уравнений.

Пример. Составим основную систему уравнений электрического равновесия цепи.

Рис. 1.41

Для этой цепи p=6, q=4, pит=1, pин=1.

Общее число неизвестных токов и напряжений ветвей 2p-p_ит-p_ин=10. Используя законы Кирхгофа, можно составить m=q-1=3 уравнений балланса токов:

-i₁+i₂=0; -i₂+i₃+i₄=0; -i₄+i₅-i₆=0 и n=p-q+1=3 уравнений баланса напряжений: U₂+U₃=e(t); -U₃+U₄-U₆=0; U₅+U₆=0, где i₅=I, U₅=-U_J - ток и напряжение ветви с источником тока.

В сочетании с p-p_ит-p_ин=4 компонентными уравнениями невырожденных ветвей

;;;

получаем систему из 10 линейно независимых уравнений для определения 10 неизвестных токов и напряжений: i₁, U₂, i₂, U₃, i₃, U₄, i₄, U₅, U₆, i₅, i₆.

Система уравнений электрического равновесия цепи, составленная любым методом, может быть путем дифференцирования и последовательного исключений неизвестных сведена к одному дифференциальному уравнению для любого из неизвестных токов и напряжений, называемому дифференциальным уравнением цепи. Дифференциальное уравнение цепи содержит информацию о характере имеющих место в цепи электрических процессов и является основой для классификации электрических цепей.