4. Задачи и упражнения
-
Эйлерово и лагранжево описание движения сплошной среды. Материальная производная
Задача 4.1.1. Поле скоростей задано
вектором
.
Определить скорость и ускорение частицы,
находящейся в момент
в точке
.
Задача 4.1.2. Дан лагранжев закон движения:
Найти компоненты скорости в эйлеровом описании.
Задача 4.1.3. Дан лагранжев закон движения:
1) Найти якобиан перехода к эйлеровым
переменным. 2) Найти скорость в лагранжевых
переменных. 3) Найти ускорение в лагранжевых
переменных. 4) Перейти к эйлерову описанию
(выразить
через
).
5) Найти якобиан перехода к лагранжевым
переменным. 6) Найти скорость и ускорение
в эйлеровых переменных. 7) Зная поле
скоростей в эйлеровых переменных,
перейти к лагранжевому описанию.
Задача 4.1.4. Задано поле скоростей в переменных Лагранжа:
1) Показать, что переход к переменным Эйлера возможен. Найти компоненты скорости и ускорения в переменных Эйлера. 2) Рассматривая поле скоростей в переменных Эйлера, полученное в пункте 1, как условие задачи, перейти к переменным Лагранжа и получить закон движения.
Задача 4.1.5. Задано поле скоростей в переменных Лагранжа:
1) Показать, что переход к переменным Эйлера возможен. Найти компоненты скорости и ускорения в переменных Эйлера. 2) Рассматривая поле скоростей в переменных Эйлера, полученное в пункте 1, как условие задачи, перейти к переменным Лагранжа и получить закон движения.
Задача 4.1.6. Ввести пространственную систему координат и лагранжевы координаты частиц и найти закон движения в следующих случаях:
а) твердое тело движется поступательно
со скоростью, постоянной по направлению
и имеющей постоянную величину
;
б) твердое тело вращается вокруг
неподвижной оси с постоянной угловой
скоростью
.
Задача 4.1.7. Для поступательных движений твердого тела указать общий вид поля скорости в лагранжевом описании и общий вид закона движения.
Задача 4.1.8. Движение среды происходит по закону
Проверить, что числа
для индивидуальной частицы имеют смысл
координат
,
,
точки пространства, в которой она
находилась в момент
.
Найти поля скорости и ускорения в
лагранжевом описании. Какая частица в
момент времени
находится в точке с координатами
?
Задача 4.1.9. Движение происходит по закону
.
а) Найти поля скорости и ускорения в лагранжевом описании.
б) Где находится в момент времени
частица, которая в момент
находилась в точке пространства с
координатами
?
Задача 4.1.10. В момент
рассматриваются функции
обратные закону движения
Каков смысл их значений? Чему равны
индивидуальные производные
?
Задача 4.1.11. Найти поля скорости и ускорения в лагранжевом и эйлеровом описаниях, если движение среды происходит по закону
а) трехосное растяжение тела:
;
б) простой сдвиг:
;
в) однородная деформация при одновременном вращении тела с закрепленной точкой:
.
Задача 4.1.12. Ввести лагранжевы координаты и найти закон движения сплошной среды, если оно происходит с полем скорости
.
Задача 4.1.13. Ввести лагранжевы координаты и найти закон движения сплошной среды, если поле скорости имеет вид:
а)
,
,
,
,
;
б)
,
,
,
;
в)
,
,
,
,
.
Задача 4.1.14. Задан закон движения сплошной среды
,
,
.
Показать, что траектории – окружности,
а величина скорости постоянна. Определить
также связь между
и
и константами
и
.
Задача 4.1.15. Дано поле скоростей в лагранжевом описании
,
,
.
Найти компоненты ускорения.
Задача 4.1.16. В каком случае материальная
производная
некоторого параметра
совпадает с частной производной
этого параметра по времени?
Задача 4.1.17. В электромагнитном
континууме напряженность магнитного
поля равна
,
где
и
– константа, и движение задано полем
скоростей
,
,
.
Определить скорость изменения
напряженности магнитного поля для
частицы, расположенной в момент
в точке
.
Задача 4.1.18. Напряженность электрического
поля в области, занятой движущейся
жидкостью, равна
,
где
и
– константа. Скорость жидкости задана
своими компонентами
,
,
.
Найти
в точке
.
Задача 4.1.19. Проверить справедливость формулы
.