Пример 1. |
|
|
Логическое умножение (конъюнкция) |
||||
A.На улице идет |
|
|
|||||
|
|
|
дождь |
|
|
|
|
|
|
B.На улице светит |
|
|
|||
|
|
|
солнце |
|
|
|
|
|
|
C.Стоит теплая |
|
|
|||
E.На улице идет дождь и стоит холодная погода |
|||||||
|
|
|
погода |
|
|
|
|
|
Е = A & D |
|
|
|
|
||
|
|
D.Стоит холодная |
|
|
|||
F. На улице светит солнце и стоит теплая погода |
|||||||
|
|
|
погода |
|
|
|
|
|
F = B & C |
|
|
|
|
||
G.На улице идет дождь и стоит теплая погода |
|||||||
|
G = A & C |
|
|
|
|
||
Таблица истинности |
|
|
|
|
|||
H.На улице светит солнце и стоит холодная |
|||||||
операции «конъюнкция» |
|
|
|
||||
погода |
А |
В |
H = B & D |
|
|
||
|
A&B |
|
Пересечение множеств |
||||
|
0 |
0 |
0 |
|
(диаграмма Эйлера – |
||
|
0 |
1 |
0 |
|
|
Венна) |
|
|
|
А |
F |
В |
|||
|
1 |
0 |
0 |
|
|||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
52
Логическое сложение (дизъюнкция)-
объединение двух или более высказываний в одно при помощи союза «ИЛИ»
Составное высказывание, образованное в результате операции дизъюнкции, истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний
Дизъюнкция обозначается: , +
53
|
|
|
|
Логическое сложение (дизъюнкция) |
|
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
A.2 х 2 = 4 |
|
|
||
|
B.3 х 3 = 9 |
|
|
||
|
C.2 х 2 = 5 |
|
|
||
|
D.4 х 4 = 4 |
|
|
||
|
E.3 х 3 = 6 |
|
|
||
F. 2 х 2 = 4 или 4 х 4 = 4 |
|
||||
|
F = A |
D |
|
|
|
G.3 х 3 = 9 или 2 х 2 = 5 |
|
||||
|
G = B C |
|
|
||
H.2 х 2 = 4 или 2 х 2 = 5 |
|
||||
ТаблицаHистинности= A C |
|
|
|||
I. 2 х 2 = 5 или 3 х 3 = 6 |
|
||||
операции «дизъюнкция» |
Объединение множеств |
||||
А |
I = С |
|
Е |
||
В |
A B |
(диаграмма Эйлера – |
|||
0 |
0 |
0 |
|
||
|
Венна) |
|
|||
0 |
1 |
1 |
|
А |
В |
1 |
0 |
1 |
|
||
1 |
1 |
1 |
|
|
|
54
Логическое отрицание (инверсия) –
присоединение частицы «не» к высказыванию Логическое отрицание (инверсия)
делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное -
истинным Инверсия обозначается: ‾,
55
|
Логическое отрицание (инверсия) |
Пример 3. |
2) В: 2 х 2 = 5 |
1) А: 2 х 2 |
|
= 4 |
В – ложь |
А - истина |
|
А - ложь |
В - истина |
|
|
Дополнение до |
|
|
|
универсального |
|
|
|
множества |
Венна) |
Таблица истинности (диаграмма |
|||
операции «инверсия» |
|
|
|
А |
Ā |
А |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
||
1 |
0 |
А |
|
56
Импликация двух высказываний A и B - такое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда A - истинно, а B - ложно.
Таблица истинности операции ИМПЛИКАЦИЯ
Импликация
обозначается: ®,
Логическое выражение «А интерпретации «звучит»:
или «А имплицирует В».
А |
В |
А В |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
В» в устной |
|
«если A, то B» |
57 |
Эквиваленция двух высказываний A и B - такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны.
А |
В |
А В |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Эквиваленция обозначается: |
|
Логическое выражение «A B» в устной |
|
интерпретации «звучит»: «A тогда и только |
|
тогда, когда B». |
58 |
Логической переменной называется переменная, значением которой может быть любое высказывание, например: x, у, x1, y1, xk, уn
Логической формулой является:
1)любая логическая переменная, а также каждая из двух логических констант — 0 (ложь) и 1 (истина);
2)если А и В — формулы, то В и А*В — тоже формулы, где знак «*» означает любую из логических бинарных операций.
Пример 4: А=(х & у) z
Формула принимает одно из двух значений
— 0 или 1. |
59 |
Формулы А и B, зависящие от одного и того же набора переменных x1,
х2, х3, … xn, называют равносильными
или эквивалентными, если на любом наборе значений переменных x1, х2, х3,
… xn они имеют одинаковые значения,
т.е. А = В Любую формулу можно
преобразовать к равносильной ей, в которой используются только операции: &, v и .
60
ПРИОРИТЕТ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
В формуле логические переменные, обозначающие
высказывания, объединяются знаками логических
операций и скобками.
Пример: F = A или В и не А или (не В = А или В & не А)
или не В
•действия в
скобках
•инверсия
•конъюнкция
•дизъюнкция
•импликация
•эквивалентнос
При необходимостить
скобки задают требуемый порядок выполнения.
Пример. |
|
||
U (В С) & D Ū |
|||
Порядок |
|
||
1) |
вычисления: |
|
|
(В С) |
|
||
2) |
Ū |
|
|
3) |
(В С) & D |
|
|
4) |
U |
(В С) & D |
|
5) |
U |
(В С) & D |
|
|
Ū |
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. |
|
|
|
|
Даны простые высказывания: |
|
|
|
A= |
A: Процессор – устройство для обработки |
|
|
|
1 |
информации |
|
|
|
B= |
B: Сканер – устройство вывода информации |
|
|
|
C: Монитор – устройство ввода информации |
|
||
|
0 |
D: Клавиатура – устройство вывода информации |
|
|
|
C= |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
Ответы: |
|
|
|
Определите |
|
||
|
D= |
|
A=1, B=0, |
|
истинность |
C=0, D=0 |
|
||
0 |
|
|
||
логических |
|
|
||
(AVB) <=> (C&D) |
(AVB) <=> (C&D) = 0 |
|
||
|
|
|
|
|
выражений: |
|
|||
(A&B) -> (CVD) |
(A&B) -> (CVD) = 1 |
|
||
(AVB) -> (C&D) |
(AVB) -> (C&D) = 0 |
|
||
(A&B) <=> (CVD) |
(A&B) <=> (CVD) = 1 |
|
||
(Ā -> B)&(CVD) |
(Ā -> B)&(CVD) = 0 |
|
||
(C <=> Ā)&B&D |
(C <=> Ā)&B&D = 0 |
|
||
(A&B)VC <=> (A&C)V(A&B) |
|
|||
|
|
|
(A&B)VC <=> |
|
(AVB)VC -> (A&C&D)&(BVD) |
62 |
|||
|
|
|
(A&C)V(A&B) = 1 |
|