Елементи комплексного аналізу Босовський Демченко
.pdfЗМІСТ
ПЕРЕДМОВА……………………………………………………………... 5
Модуль 1
Поле комплексних чисел. Геометрія комплексної площини…………... |
6 |
|
|
Основні практичні задачі, що відносяться до теми |
|
«Поле комплексних чисел. Геометрія комплексної площини»………... |
7 |
Приклади розв’язування основних задач……………………... |
7 |
Задачі для самостійного розв’язання…………………………………… |
16 |
Запитання для контролю………………………………………………… |
18 |
Завдання для самостійного опрацювання……………………………….. |
18 |
Модуль 2. |
|
Функції комплексної змінної. Поняття і геометрична ілюстрація |
|
функції комплексної змінної……………………………………………. |
19 |
|
|
§1. Загальні зауваження, рекомендації та вказівки…………………… |
19 |
Похідна функції комплексної змінної. Комплексна |
|
диференційованість………………………………………………………. |
21 |
Гармонічні в області функції, їх зв’язок з аналітичними……………… |
22 |
Елементарні функції……………………………………………………… |
23 |
Лінійна функція…………………………………………………………… |
23 |
Дробово-лінійна функція……………………………………………….... |
24 |
Показникова, тригонометричні і гіперболічні функції |
|
комплексної змінної……………………………………………………… |
26 |
Логарифми комплексних чисел…………………………………………. |
28 |
Степені з комплексними основами і комплексними показниками…… |
28 |
Оберненні тригонометричні функції……………………………………. |
28 |
Обернені гіперболічні функції…………………………………………... |
29 |
§2 Основні практичні задачі, що відносяться до розділу «Функції |
|
комплексної змінної», та методика їх розв’язання…………………….. |
29 |
§3 Приклади розв’язання типових задач………………………………... |
34 |
3 |
|
Запитання для контролю…………………………………………………. |
74 |
Завдання для самостійного опрацювання………………………………. |
75 |
Модуль 3. |
|
Інтегрування функцій комплексної змінної…………………………….. |
76 |
|
|
§1. Інтеграл від функції комплексної змінної…………………………... |
76 |
§2. Приклади безпосереднього обчислення інтегралів………………… |
77 |
§3. Інтегральна теорема Коші……………………………………………. |
81 |
§4. Інтегральна формула Коші…………………………………………… |
83 |
Обчислення інтегралів за допомогою інтегральних формул Коші…… |
84 |
Завдання для самостійного опрацювання……………………………….. |
89 |
Модуль 4 |
|
Ряд Лорана. Ізольовані особливі точки. Лишки………………………... |
90 |
|
|
§1. Основні поняття………………………………………………………. |
90 |
§2. Розкладання функцій в ряди Лорана………………………………… |
91 |
§3. Ізольовані особливі точки, їх класифікація…………………………. |
97 |
§4. Лишки…………………………………………………………………. |
103 |
§5. Застосування теорії лишків………………………………………….. |
106 |
§6.Обчислення інтегралів від функцій дійсної змінної………………... |
115 |
2
I. Інтеграли виду I R(cos x,sin x)dx ………………………………… 115
0
II. Невласні інтеграли від раціональних функцій……………………… 118
III. Інтеграли вигляду ei x R(x)dx ……………………………………… 119
Завдання для самостійного опрацювання……………………………….. 122
ЛІТЕРАТУРА……………………………………………………………... 133
4
ПЕРЕДМОВА
Перехід до вивчення функцій комплексної змінної такий же природний як і перехід від поля дійсних чисел до алгебраїчно замкненого поля комплексних чисел. Це дає можливість глибше вивчити елементарні функції і встановити можливі зв’язки між ними; з’ясувати природу багатозначності функцій і побудувати бездоганну їх теорію; створити ефективні методи обчислення інтегралів, отримання асимптотичних оцінок, дослідження розв’язків диференціальних рівнянь; описати найбільш важливі для застосувань плоскі векторні поля, тощо.
Комплексний аналіз знаходить численні застосування у різних галузях.
Його поняття служать основою і джерелом багатьох досліджень у функціональному аналізі, алгебрі, топології, диференціальній геометрії,
рівняннях з частинними похідними та інших розділах математики.
Мета вивчення курсу комплексного аналізу: освоїти загальні ідеї і методи теорії функцій комплексної змінної; детально вивчити факти, що їх ілюструють.
Завдання: оволодіти методами і основним апаратом комплексного аналізу. Сюди відносяться: представлення аналітичних функцій рядами та інтегралами; загальні методи обчислення інтегралів за допомогою теорії лишків; асимптотичні методи; набуття навичок обчислення значень найважливіших елементарних функцій комплексної змінної.
Знання, уміння і навички, здобуті в сфері комплексного аналізу, можна використати при вивченні суміжних дисциплін та в подальшій самоосвітній діяльності.
5
Модуль 1
Поле комплексних чисел. Геометрія комплексної площини
Ця тема відноситься до курсу алгебри, тому передбачається нагадати тут основні визначення і результати.
Алгебраїчна форма комплексного числа. Правила додавання, віднімання,
множення і ділення комплексних чисел, записаних в алгебраїчній формі.
Операція спряження, її властивості.
Геометричне зображення комплексних чисел на площині.
Тригонометрична форма комплексного числа. Правила множення, ділення,
піднесення до степеня комплексних чисел, записаних в тригонометричній формі. Добування кореня з комплексного числа, геометрична інтерпретація.
Стереографічна проекція. Сфера Рімана. Розширена комплексна площина.
Після опрацювання теми “Поле комплексних чисел. Геометрія комплексної площини” за підручником [1] потрібно:
1) знати різні форми запису комплексних чисел (алгебраїчна,
тригонометрична, показникова), правила виконання дій над числами у різних формах і відповідні геометричні інтерпретації цих дій;
2) мати практичні навички виконання операцій над комплексними числами. Якщо числа подані в алгебраїчній формі, то зручно виконувати додавання, віднімання, множення і ділення; при піднесенні до степеня і добуванні кореня варто перейти до тригонометричної (показникової) форми комплексного числа.
6
Основні практичні задачі, що відносяться до теми
«Поле комплексних чисел. Геометрія комплексної площини»:
1)подати у тригонометричній формі число z a bi ;
2)виконати дії над комплексними числами в алгебраїчній формі: додати,
відняти, помножити, поділити, добути квадратний корінь;
3) виконати дії над комплексними числами у тригонометричній формі:
помножити, поділити, піднести до степеня, добути корінь (знайти всі значення кореня);
4) розв’язати рівняння. Ця задача є комплексною, бо об’єднує пп. 1) – 3). Потрібно набути навички розв’язування квадратних рівнянь з комплексними коефіцієнтами та двочленних рівнянь un vn .
Приклади розв’язування основних задач.
Задача 1. Подати у тригонометричній формі числа:
1) z 1 i ; 2) z 2 7i .
Розв’язання.
1) а) Зображаємо задане число z 1 i на комплексній площині вектором (рис. 1.а).
|
у |
|
|
б) Знаходимо модуль комплексного числа |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(довжину цього вектора): |
||||||||||
-1 |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
z |
r |
|
2 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
||||||||
-1-i |
|
|
-1 |
в) Вказуємо на рисунку кут від додатної півосі Ох до |
||||||||||||
|
|
|
вектора z 1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(стрілкою). |
Це і є аргумент |
|||||||||||
|
рис.1.а. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
комплексного числа. Знаходимо його на основі |
||||||||||||
|
|
|
|
рівностей: |
cos |
x |
, sin |
y |
і правила знаків для |
|||||||
|
|
|
|
r |
r |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аргументу.
7
У даному випадку: cos |
1 |
|
; |
sin |
1 |
|
. Оскільки кут |
||
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
відраховується за стрілкою годинника, то аргумент від’ємний; він дорівнює
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Таким чином: r |
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
arg 1 i |
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 ; |
; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
г) 1 i r cos sin |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 cos |
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
– тригонометрична форма заданого комплексного числа.
Зауваження. Рисунок виконується для правильного визначення аргументу.
2) а) Зображаємо число z 2 7i на комплексній площині вектором
(рис. 1.б.)
б) Знаходимо модуль комплексного числа (довжину вектора):
у
z 7
-2 О
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 72 |
|
|||||||
|
r |
2 7i |
|
53 7,28. |
|
|||||||
r=7,28 |
в) Знаходимо аргумент φ комплексного числа |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(кут від Ох до вектора): |
|
||||||||||
φ = 105,7 |
sin |
7 |
|
0,96; cos |
2 |
0,270 |
|
|||||
|
|
; |
||||||||||
|
7,28 |
|
||||||||||
|
х |
7,28 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105,70 .
рис.1.б. |
г) Подаємо задане число у тригонометричній |
||||
|
|||||
|
формі: |
|
|
|
|
2 7i 7,28 cos105,70 isin105,70 . |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Задача 2. Обчислити квадратний корінь із заданого числа: |
3 i . |
||||
Розв’язання. |
|
|
|
|
|
а) Невідоме значення кореня подаємо в алгебраїчній формі |
|
|
|
z 3 i x iy ;
б) Підносимо до квадрату обидві частини рівності:
8
3 i x iy 2 x2 y2 i 2xy ;
в) Складаємо систему на основі рівності комплексних чисел:
x2 y2 3,2xy 1
г) Розв’язуємо цю систему методом підстановки:
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
; x2 |
|
|
3 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4x4 4 |
|
x2 1 0; x2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
12 4 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Оскільки x2 0 , то x2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
; x |
1 |
|
|
|
1 |
||||||||||||||||
3 |
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Відповідно: y |
1 |
|
|
3 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x iy 3 1 i 3 1 12 .
Відповідь. 3 i 3 1 i 3 1 12 0,37 1,37i .
Задача 3. Розв’язати рівняння: z2 4 i z 5 5i 0 .
Розв’язання.
а) Дискримінант рівняння:
D 4 i 2 4 5 5i 16 8i 1 20 20i 5 12i;
б) Корінь із дискримінанта (див. задачу 2): D 5 12i x iy ;
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xy 12. |
|
|
|
|
|
|
||
y |
6 |
; |
x2 |
36 |
5; |
x4 5x2 36 0; |
x2 5 |
25 144 |
|
5 13 |
4; |
|||
x |
x2 |
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x1 2; x2 2; y1 3; y2 3. |
|
2 3i . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
в) Корені рівняння (за формулою коренів квадратного рівняння):
z |
4 i 2 3i |
3 i; z |
|
|
4 i 2 3i |
1 2i. |
|
2 |
|
||||
1 |
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
9 |
|
|
|
|
Відповідь. z1 3 i; z2 1 2i.
Задача 4. Знайти всі значення кореня: 4 1 i3.
Розв’язання. а) Подаємо число z 1 i3 у тригонометричній формі (див. задачу 1): r 1 2 3 2 2;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
1 |
; |
|
|
sin |
|
|
|
3 |
|
; |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z r cos i sin 2 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
Знаходимо |
|
|
всі |
|
|
значення |
|
кореня |
за |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z = 1 i |
3 |
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулою: n r cos i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k |
i sin |
2 k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
φ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
-1 |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
n 0,1,2,..., n 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У даному випадку маємо: 4 |
1 i |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0,1,2,3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k 0 : z0 |
|
|
2 cos |
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k 1: z |
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
i sin |
|
|
1 |
i |
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k 2 : z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
i sin |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4 |
2 |
|
cos |
|
|
6 |
|
i sin |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 i ; |
|
|
||||||||||||||
|
4 2 |
cos |
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k 3: z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
i sin |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
3 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4 |
2 |
cos |
|
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрична інтерпретація. Точки z0 , z1, z2 , z3 є вершинами правильного
чотирикутника (квадрата), вписаного в коло |
|
|
z |
|
4 2 ; початковий промінь Oz |
0 |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
відділяє від аргументу заданого числа ( |
2 |
) четверту частину ( |
|
) (див. |
||||||||||||||||||||
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
рисунок 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
у |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 1 i 3 |
|
|
φ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ = |
|
: 4= |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
z3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3
Задача добування кореня із комплексного числа рівносильна задачі про поділ кола на рівні частини.
Задача 5. Розв’язати рівняння: ix 1 n x i n 0.
11