complan_taskbook_1
.pdfКИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ IМЕНI ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
Є. Д. Бiлоколос, Л. Л. Зайцева, Д. Д. Шека
Збiрник задач з комплексного аналiзу
Частина I. Функцiї комплексної змiнної
Методична розробка
для студентiв природничих факультетiв
Київ
2014
УДК 517.53 |
|
Є. Д. Бiлоколос, Л. Л. Зайцева, Д. Д. Шека |
версiя 25 березня 2014 р. |
Збiрник задач з комплексного аналiзу. Частина I. Функцiї комплексної змiнної: Методична розробка для студентiв природничих факультетiв. — К., 2014.-71 с.
Збiрник задач мiстить близько 400 задач рiзного рiвня складностi, серед яких докладно розiбрано близько 40 прикладiв.
Для студентiв фiзико-математичних спецiальностей унiверситетiв.
Рецензенти: С. А. Кривошея, канд. фiз.-мат. наук, доцент Т. М. Жеребко, канд. фiз.-мат. наук, асистент.
Затверджено Радою радiофiзичного факультету Протокол № 7 вiд 11 березня 2013 року
c Є. Д. Бiлоколос, Л. Д. Зайцева, Д. Д. Шека, 2014
Змiст
Глава 1. Основнi поняття комплексного аналiзу |
6 |
§ 1. Операцiї над комплексними числами . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
§2. Способи зображення комплексних чисел . . . . . . . . . . . . . 10
§3. Добування кореня з комплексного числа . . . . . . . . . . . . . 16
§ 4. Елементарнi трансцендентнi функцiї . . . . . . . . . . . . . . . 18
Глава 2. Аналiтичнi функцiї. Iнтегрування функцiй комплексної змiн-
ної |
24 |
§5. Поняття аналiтичної функцiї. Умови Кошi–Рiмана . . . . . . . . 24
§6. Геометрична iнтерпретацiя аналiтичної функцiї . . . . . . . . . 29
§7. Гармонiчнi функцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§8. Iнтеграл вiд функцiї комплексної змiнної . . . . . . . . . . . . . 40
§9. Iнтегральна формула Кошi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Вiдповiдi |
60 |
Рекомендована лiтература |
69 |
Абетковий покажчик |
70 |
3
Деякi позначення
МАТЕМАТИЧНI СИМВОЛИ
a = b a дорiвнює b;
a b a тотожно дорiвнює b;
МНОЖИНИ
N множина натуральних чисел; Z множина цiлих чисел;
Rмножина дiйсних чисел;
Cмножина комплексних чисел (комплексна площина);
Cрозширена комплексна площина;
, крива (контур);
Dобласть;
@D межа областi D;
КОМПЛЕКСНI ЧИСЛА
zкомплексне число;
zкомплексне число, спряжене до z;
Re z дiйсна частина комплексного числа z; Im z уявна частина комплексного числа z; jzj модуль комплексного числа z;
Arg z аргумент комплексного числа z; arg z головне значення аргументу комплексного числа z;
ФУНКЦIЇ
f(z) функцiя комплексної змiнної;
f(z) 2 A(D) функцiя, аналiтична в D;
f(x; y) 2 H(D) функцiя, гармонiчна в D;
ДЕЯКI УМОВНI ПОЗНАЧЕННЯ
C початок прикладу; B кiнець прикладу; J початок розв’язку;
Iкiнець розв’язку;
4
Передмова
Видання розпочинає серiю збiрникiв задач з курсу «Комплексний аналiз». За основу використано завдання, якi впродовж багатьох рокiв використовуються авторами на радiофiзичному факультетi Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка. В першу частину увiйшли задачi з основних понять комплексного аналiзу i теорiї аналiтичних функцiй, якi складають перший модуль курсу. Задачi добиралися у вiдповiдностi до лекцiйного матерiалу. Для зручностi читача кожний параграф мiстить основнi поняття i факти. Вiдповiдi до усiх задач наведено в кiнцi книги.
Основна частина задач складалася авторами спецiально для «Збiрника», iншi було запозичено з [6–9].
«Збiрник» розраховано на студентiв фiзико-математичних спецiальностей унiверситетiв.
5
Глава 1
Основнi поняття комплексного аналiзу
§ 1. Операцiї над комплексними числами |
|||||
Комплексним числом називається вираз z = x + iy, де x та y — дiйснi |
|||||
p |
|
|
що називається уявною одиницею, тобто число, |
||
числа, i = 1 — це символ, |
i |
2 |
= 1. Числа x та y називаються дiйсною та |
||
квадрат якого дорiвнює 1, |
|
уявною частинами комплексного числа z i позначаються x = Re z, y = Im z. Комплексне число z = x iy називається комплексно спряженим до z i позначається як z. Таким чином, x + iy = x iy: Множина комплексних чисел позначається C = fz : z = x + iy; x; y 2 Rg.
Поняття рiвностi та основнi арифметичнi операцiї на множинi C визначаються таким чином:
Два комплекснi числа z1 = x1 + iy1 i z2 = x2 + iy2 рiвнi тодi i лише тодi, коли x1 = x2 та y1 = y2:
Сумою z1 + z2 комплексних чисел z1 = x1 + iy1 i z2 = x2 + iy2 називається комплексне число
z= z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2):
Добутком z1z2 комплексних чисел z1 = x1 +iy1 i z2 = x2 +iy2 називається комплексне число
z= z1z2 = (x1x2 y1y2) + i(x1y2 + y1x2):
Часткою z1=z2 вiд дiлення комплексного числа z1 = x1+iy1 на комплексне число z2 = x2 + iy2 6= 0 називається комплексне число
|
z1 |
= |
z1 |
|
2 |
= |
x1x2 + y1y2 |
+ i |
y1x2 x1y2 |
|
z = |
z |
: |
||||||||
z2 |
z2 |
|
2 |
x22 + y22 |
x22 + y22 |
|||||
|
|
z |
|
|
|
Зауважимо, що всi властивостi операцiй додавання i множення (комутативнiсть, асоцiативнiсть i т.п.), притаманнi R, зберiгаються i на множинi
C:
Модулем комплексного числа z = x + iy називається число
p
jzj = x2 + y2 0:
Аргументом комплексного числа z = x + iy; z 6= 0 називається сукупнiсть чисел
arctg y |
+ 2k ; |
(x; y) в I та IV квадрантах; |
x |
|
|
Argz = arctg xy |
+ + 2k ; |
(x; y) в II та III квадрантах; |
6
Роздiл 1. Операцiї над комплексними числами |
7 |
де k 2 Z. Через arg z позначатиме будь-яке iз значень функцiї Arg z. Для зручностi в деяких прикладах вважатимемо, що arg z 2 ( ; ].
У багатьох задачах зручно використовувати тригонометричну форму запису комплексного числа z = (cos ' + i sin ') або показникову форму запису z = ei'; тут = jzj; ' = Arg z: Зв’язок мiж тригонометричною та показниковою формами запису комплексного сила встановлює формула Ей-
лера: |
|
ei' = cos ' + i sin ': |
(1.1) |
Операцiї множення та дiлення двох комплексних чисел z1 |
= 1(cos '1 + |
i sin '1) = 1ei'1 ; z2 = 2(cos '2 + i sin '2) = 2ei'2 в цих формах запису мають такий вигляд:
z1z2 |
= 1 2 (cos('1 + '2) + i sin('1 + '2)) = 1 2ei('1+'2); |
|
|||||||||||||||||||
|
z1 |
|
|
1 |
|
' |
|
|
' |
2) + |
i |
|
' |
1 |
' |
2)) = |
1 |
ei('1 |
'2); |
|
: |
|
z2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= |
(cos( |
|
1 |
|
|
sin( |
|
|
2 |
|
2 |
6= 0 |
Для пiднесення числа z = (cos ' + i sin ') = ei' до цiлого степеня зручно використовувати формулу Муавра:
(cos ' + i sin ')n = cos n' + i sin n'; n 2 Z: |
(1.2) |
Тодi zn = n(cos n' + i sin n') = nein'.
Приклад 1.1. C Знайти дiйсну та уявну частини комплексного числа
|
|
|
|
|
|
|
z = |
|
|
|
4 3i |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 2i)(2 + i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z = |
4 3i |
= |
|
|
|
4 3i |
|
|
= |
|
4 3i |
= |
(4 3i)(8 + i) |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
(3 2i)(2 + i) |
|
|
6 + 3i 4i + 2 |
|
8 i (8 i)(8 + i) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= |
32 + 4i 24i + 3 |
= |
35 20i |
|
= |
7 |
|
|
i |
4 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
64 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
13 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Таким чином, Re z = |
7 |
; Im z = |
4 |
. I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
13 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i)6 |
у показниковiй |
||||||||||||||||||||||
Приклад 1.2. C Записати комплексне число z = |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формi. B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 2i)4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. J Позначимо z1 = |
3 |
+ i, z2 |
= 3 2i. Знайдемо модуль та |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
аргумент z1 та z2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
jz1j = q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= p |
|
; |
|
|||||||||||||||||||||
|
( p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jz2j = 32 |
+ ( 2)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3)2 + 12 |
= 2; |
13 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
p |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
arg z1 = arctg p |
|
|
+ = |
|
|
; |
|
|
arg z2 = arctg |
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
c |
v. 25 березня 2014 р. |
Є. Д. Бiлоколос, Л. Д. Зайцева, Д. Д. Шека, 2014 |
8 Глава 1. Основнi поняття комплексного аналiзу
при обчисленнi аргументiв було враховано, що число z1 знаходиться у II квадрантi, а число z2 у IV квадрантi. Запишемо числа z1 i z2 у показниковiй формi:
|
|
|
|
|
z1 = 2ei |
5 |
|
|
z2 = p |
|
e i arctg 32 : |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
; |
13 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||
Використовуючи формулу Муавра, отримаємо |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
z6 |
|
|
26e6i56 |
64 |
2 |
|
64 |
|
2 |
); |
||||||||
z = |
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
ei5 +i4 arctg 3 |
= |
|
ei(4 arctg |
3 |
|||
z4 |
p |
|
|
4i arctg 32 |
|
|
|||||||||||||
|
|
4 |
169 |
|
|
|
|
169 |
|
|
|||||||||
|
2 |
|
( |
13) e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
остання рiвнiсть випливає з того, що ei6 = 1: Зауважимо, що 4 arctg 23 2
( ; ]: I
Приклад 1.3. C Використовуючи формулу Муавра, виразити cos 4' через степенi cos ' та sin '. B
Розв’язання. J З формули Муавра випливає, що
cos 4' = Re (cos 4' + i sin 4') = Re (cos ' + i sin ')4 =
=Re cos4 ' + 4i cos3 ' sin ' 6 cos2 ' sin2 ' 4i cos ' sin3 ' + sin4 ' =
=cos4 ' 6 cos2 ' sin2 ' + sin4 ':
I
Приклад 1.4. C Знайти дiйсну та уявну частини числа w = (z + 1)2 + z +i i:
B
Розв’язання. J Нехай z = x + iy: Тодi z = x iy i
w = (x + 1 |
|
iy)2 |
+ |
|
i |
|
= (x + 1)2 |
|
2iy(x + 1) |
|
y2 + |
i (x i(y + 1)) |
= |
||||||||||
|
|
|
|
x2 + (y + 1)2 |
|||||||||||||||||||
|
|
x + i(y + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= (x + 1)2 y2 |
2iy(x + 1) + |
y + 1 |
|
+ i |
|
|
x |
|
= |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x2 + (y + 1)2 |
x2 + (y + 1)2 |
|
|||||||||||||||||||||
= (x + 1)2 y2 + x2 + (y + 1)2 + i x2 + (y + 1)2 2y(x + 1) : |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y + 1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким чином, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Re w = (x + 1)2 y2 |
|
|
y + 1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
2y(x + 1): |
|
||||||||||
+ |
|
; Im w = |
|
|
|||||||||||||||||||
x2 + (y + 1)2 |
x2 + (y + 1)2 |
|
I
Приклад 1.5. C Довести, що для довiльних z1; z2 2 C; ' 2 R виконуються наступнi спiввiдношення:
z1 + z2 = z1 + z2; ei'ei' = 1:
B
v. 25 березня 2014 р. |
c |
Є. Д. Бiлоколос, Л. Д. Зайцева, Д. Д. Шека, 2014 |
Роздiл 1. |
Операцiї над комплексними числами |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
||||||||||||||||||||||||||||
Розв’язання. J Доведемо першу рiвнiсть. Нехай z1 |
= x1 + iy1; z2 = x2 + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
iy2; |
x1; x2; y1; y2 2 R. Тодi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= x1 + iy1 + x2 + iy2 = x1 iy1 + x2 iy2 = x1 + x2 i(y1 + y2) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z1 |
z2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x1 + x2 + i(y1 + y2) = x1 + iy1 + x2 + iy2 = z1 + z2: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Розглянемо другу рiвнiсть. Для довiльного |
' 2 R |
скористаємось означе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
нням ei' = cos ' + i sin ': Тодi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ei' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ei' |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= (cos ' + i sin ') cos ' + i sin ' = (cos ' + i sin ') (cos ' i sin ') = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos2 ' + sin2 ' = 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Завдання для класної роботи i домашнi завдання. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
В прикладах 1–6 знайти дiйсну та уявну частини комплексних чисел. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
3i 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
i + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 + i)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
(2 + i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2. |
|
|
(4i + 3)2 + (3i 5)2 |
|
|
5. |
(i31 2)3 (4i33 + 3)2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(3 + 2i)(2 i) |
|
|
|
|
(1 2i)(5 + i) |
|||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
(2i53 + 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
(i + 1)3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
(2 3i)(3 + i) |
|
( 1 3i35)( 2 + i) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
В прикладах 7–12 знайти модуль та аргумент комплексних чисел |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. 1 i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
4 + 4i. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
8. (12 5i)13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
( 8 + 6i)100. |
|||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
|
( 1 + 3i)10 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
(2 5i)25 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
(1 ip6)36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 ip13)39 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
В прикладах 13–16 записати комплекснi числа у показниковiй формi. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
2. |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
14. 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
15. |
|
|
(1 + 2i) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + i)16 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
( 1 7i)11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 + 3i)15 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
В прикладах 19–22, використовуючи формулу Муавра, виразити через |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
степенi cos ' та sin ' наступнi функцiї. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
19. sin 5'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. |
cos 3'. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
20. cos 8'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
sin 9'. |
|
|
|
|
|
|
Вприкладах 23–26 знайти дiйсну та уявну частини числа w; якщо z = x + iy.
c |
v. 25 березня 2014 р. |
Є. Д. Бiлоколос, Л. Д. Зайцева, Д. Д. Шека, 2014 |
10 |
Глава 1. Основнi поняття комплексного аналiзу |
23.w = z1; z 6= 0.
24.w = z2 + z.
Вприкладах 27–30 довести, що
27.jz1z2j = jz1jjz2j; z1; z2 2 C.
28.e1i' = e i'; ' 2 R.
|
|
z2 |
|
25. |
w = |
|
; z 6= 1. |
z + 1 |
|||
26. |
w = z2 4iz + 1. |
29.(zn) = (z)n; z 2 C.
30.ei' n = ei'n; ' 2 R; n 2 N.
31.Довести, що для довiльного многочлена P (z) з дiйсними коефiцiєнтами i для довiльного комплексного числа z має мiсце рiвнiсть P (z) = P (z).
32.Довести, що функцiя f(z) = zn; n 2 N є взаємно однозначним вiдображенням на множинi D = f( ; ') : > 0; ' 2 ( ; )g; якщо j j 2n :
§ 2. Способи зображення комплексних чисел
Геометрична iнтерпретацiя |
комплексних чисел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Кожному комплексному |
числу z |
= x + iy |
ставиться |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
||
у вiдповiднiсть точка з |
координатами (x; y) |
прямоку- |
iy |
|
|
|
|
|
|
z |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
тної декартової системи координат xOy: Саму площи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ну при цьому називають комплексною. Вiсь Ox нази- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вається дiйсною вiссю, вiсь Oy — уявною. Кожнiй точцi |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x; y) вiдповiдає єдиний радiус-вектор цiєї точки fx; yg: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вiдповiднiсть мiж множиною всiх комплексних чисел |
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
C та комплексною площиною (або множиною радiус- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторiв точок комплексної площини) є взаємно одно- |
0 |
|
|
1 |
x |
|||||||||||
значною, тому надалi ми не будемо розрiзнювати термi- |
Рис. |
1: |
Геометри- |
|||||||||||||
ни комплексного числа та точки комплексної площини |
||||||||||||||||
чна |
|
iнтерпретацiя |
||||||||||||||
(радiус-вектора цiєї точки). |
|
|
комплексного числа |
|||||||||||||
Модуль та аргумент ' комплексного числа z = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ei' є координатами точки z в полярнiй системi коор- |
iy |
|
|
z1 + z2 |
|
C |
||||||||||
динат (див. рис. 1). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
З геометричної точки зору суму або рiзницю двох |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
чисел z1 i z2 можна отримати за допомогою правил |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
додавання або вiднiмання векторiв, що вiдповiдають |
|
|
|
|
|
|
|
z1z1 z2 |
||||||||
цим комплексним числам (див. рис. 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Стереографiчна проекцiя. В трьохвимiрному про- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
сторi введемо декартову систему координат i розгля- |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||
немо координатну площину xOy як комплексну пло- |
Рис. 2: Геометрична iн- |
|||||||||||||||
щину. Побудуємо сферу одиничного дiаметра, яка є |
||||||||||||||||
терпретацiя |
додавання |
|||||||||||||||
дотичною до площини в точцi z = 0 (див. рис. 3). |
та вiднiмання |
компле- |
||||||||||||||
Позначимо точку дотику через O; а дiаметрально про- |
ксних чисел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
тилежну їй точку сфери — через N: З’єднаємо точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
N прямою з точкою z комплексної площини i позначимо через M(z) |
точку |
v. 25 березня 2014 р. |
c |
Є. Д. Бiлоколос, Л. Д. Зайцева, Д. Д. Шека, 2014 |