ЕГОРОВ В.А.- Обработка траекторий случайных процессов

Используя разложение

12.4. Доказательство теоремы 12.1

Введем обозначения:

H0,0 – замыкание в H линейного многообразия, порожденного значе-

ниями процесса X0, X1, ... , X n, ... ; H0,0 – гильбертово подпространство;

L0,0 – замыкание в L2 (dF ) линейного многообразия, порожденного

Используя изоморфизм гильбертовых пространств H0,0 и L0,0, пере-

формулируем теорему в терминах гильбертова пространства L0,0 . Будем пользоваться также доказанным ранее фактом: для любого Xn H0,0 найдет-

π

ся такая функция φn L0,0, что X n φn (t)Z (dt). С учетом этих обозна-

π

чений теорема в терминах L0,0 формулируется в следующем виде.

51

Функция φˆ n (t) из формулировки теоремы 12.1 наиболее близка к функ-

ции eitn в метрике пространства L2 (dF ) , т. е. для нее справедливо равенство

ляется аналитической функцией относительно переменной e it , т. е. функ-

цию it можно представить в виде ряда it k ikt . Следова-

1/Φ(e ) 1/Φ(e ) c e

n0

52

тельно, 1/Φ(e it) L0,0. Поскольку произведение ограниченных функций из

L0,0 также принадлежит L20,0 , то φˆ n (t) L20,0 .

Свойство проекций a) доказано. Перейдем к доказательству свойства б). Докажем для любого m 0 равенство нулю скалярного произведения

π

In,m (eitn φˆ n (t)) e itmφ(t)dt 0.

π

Здесь учитывается, что в скалярном произведении, выражаемом интегралом, второй сомножитель берется сопряженным. Напомним, что

Это равенство очевидно, поскольку ( m (n k) l) 0 .▼

53

12.5. Задачи с параметрами

Рассмотрим задачи прогнозирования, содержащие параметры.

Задача 12.1. Пусть спектральная плотность стационарного случайного процесса равна

Коэффициенты при степенях z – это коэффициенты функции прогноза на один шаг вперед. Остальные функции прогноза строятся аналогично.

Следующие две задачи предназначены для самостоятельной работы студентов.

Задача 12.2. Пусть спектральная плотность стационарного случайного процесса равна φ(t) 21π (a b cos t).

54

Найти ковариационную функцию и построить функции прогноза. Задача 12.3. Пусть спектральная плотность стационарного случайного

процесса равна

Найти ковариационную функцию и построить функции прогноза.

N

Задача 12.4. Рассмотрим процесс скользящего среднего Yn c jξn j .

j0

Выяснить, при каких условиях к процессу можно применить теорему 12.1. Построить при этих условиях для процесса Yn функцию прогноза на m шагов. Использовать формулу для спектральной плотности

13. ФИЛЬТР КАЛМАНА

13.1. Постановка задачи в схеме Калмана

Фильтр Калмана, названный в честь Рудольфа Калмана, – это общее название рекуррентных методов обработки динамических данных, основанных на одной и той же идее.

Пусть (X,Y) ({Xn},{Yn}) – частично наблюдаемая последовательность векторов. Это означает, что k -мерные векторы Xn и l -мерные векторы Yn управляются рекуррентными стохастическими уравнениями

Xn 1 a0 (n, Y) a1(n, Y)Xn b1(n, Y)ε1(n 1) b2(n, Y)ε2(n 1),

Yn 1 A0 (n, Y) A1(n, Y)Xn B1(n, Y)ε1(n 1) B2(n, Y)ε2(n 1). (13.1)

Здесь Y – реально наблюдаемая последовательность, X – интересующая исследователя ненаблюдаемая последовательность, стохастически связанная с последовательностью Y .

Предполагается, что:

a) зависимость всех коэффициентов от Y неупреждающая. Это означает, что для векторов a0 (n, Y) выполняются условия: a0(n, Y)a0(n, Y0, ..., Yn ) . Аналогичные условия должны быть выполнены для остальных коэффициентов;

55

б) последовательности независимых векторов ε1(n) и ε2(n) имеют независимые стандартные нормальные компоненты;

в) случайные векторы ε1(n) и ε2(n) не зависят от (X0 ,Y0 ) ;

г) все коэффициенты в (13.1) ограничены случайными постоянными, обладающими ограниченными вторыми моментами.

д) E(|X0 |2 | Y0 |2) .

Введем наилучший прогноз mn вектора Xn по наблюдениям Yn, ..., Y0 и его условную ковариационную функцию с помощью соотношений

mn E(Xn | Yn, ..., Y0), γn E((Xn mn )(Xn mn )т | Yn, ..., Y0 ).

Известно, что функция mn дает наилучший прогноз значения случайного вектора Xn по наблюдениям (Yn, ..., Y0) . Функция γn описывает поведение ошибки прогноза. Фильтрация по Калману состоит в нахождении рекуррентных уравнений, с помощью которых можно определять mn и γn по наблюдениям (Yn, ..., Y0) .

Приведем сначала простой пример ситуации, описываемой схемой Калмана. Пример 13.1. Предположим, что автомобиль движется равноускоренно по прямолинейной дороге. Положение автомобиля s измеряется наблюдате-

лем в моменты времени t0, t1, ... , tn. В моменты измерения положение s, скорость v и ускорение a автомобиля имеют независимые друг от друга нормальные случайные отклонения от своих значений, вычисляемых с помощью уравнений Ньютона. Математические ожидания этих отклонений

равны нулю, а дисперсии − σ12, σ32 соответственно. Составим уравнения динамики движения автомобиля.

Обозначим sn, vn, an положение автомобиля, скорость и ускорение в момент tn , tn tn 1 tn. При этих обозначениях справедливы равенства

56

σi2, i 1, 2, 3. Предполагается, что Yn sn – это наблюдаемые величины, а

sn

весь вектор Xn vn – исследуемый вектор косвенных наблюдений.▼

an

Задача 13.1. Проверить, соответствует ли полученная система рекуррентных уравнений рекуррентной системе (13.1) при

13.2. Построение фильтра Калмана

Из-за громоздкости вычислений доказательства теорем в этом разделе не приводятся.

Теорема 13.1. Пусть (X, Y) ({Xn}, {Yn}) – частично наблюдаемая последовательность k -мерных и l -мерных векторов, управляемая рекуррентными стохастическими уравнениями (13.1). Тогда последовательность (mn, γn ) подчиняется следующим рекуррентным соотношениям:

Обратимся к линейной схеме Калмана в форме

57

Для линейной схеме Калмана оптимальная аппроксимация является линейной функцией от Y0, Y1, ..., Yn. Для линейной схемы справедлива следующая теорема.

Теорема 13.2. Для линейной схемы фильтра Калмана (13.4) рекуррент-

Влинейной схеме фильтра Калмана–Бьюси условные матрицы ошибок

γn не случайны и поэтому могут быть вычислены заранее, до проведения

наблюдений.

13.3. Задачи на построение фильтра Калмана

Задача 13.2. Пусть X ( Xn ), Z (Zn ) – две стационарные в широком смысле центрированные некоррелированные случайные последовательности со спектральными плотностями

ε1(n) и ε2(n) , что Xn 1 b1Xn ε1(n 1), Zn 1 b1Zn ε2(n 1).

Задача 13.3. Будем интерпретировать в предыдущей задаче X как полезный сигнал, а Z – как шум, причем наблюдению подлежит последовательность (Y ) (Yn ) , такая, что Yn Xn Zn.

Построить для процессов ( X , Y ) фильтр Калмана. Решение. Из задачи 13.2 следует

Yn1 X n1 Zn1 b1X n b2Zn ε1(n 1) ε2 (n 1)