Добавил:

arhimagist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Статистика случайных процессов

Файл:

ЕГОРОВ В.А.- Обработка траекторий случайных процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.07.2017

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Эта сумма сходится к нулю тогда и только тогда, когда спектральная функция непрерывна. ▼

9. ВЫЧИСЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ. ПРИМЕРЫ

Далее рассмотрим примеры из разд. 5.

Пример 9.1. В прим. 5.1 ковариационная функция процесса равна

K(n) eiλ1n | f (0)|2 E | A|2 . Спектральная мера в этом примере представляет собой массу | f (0)|2 E(| A|2), сосредоточенную в точке λ1 .

			n
Пример 9.2. В прим.	5.2	K (n) E \|Aj\|2 eiλ j n, поэтому спектральная
			j1
плотность равна E \|Aj\|2 в точках λ j , j 1, 2, ..., n.

Пример 9.3. В прим.	5.3	K (n) E \|Aj\|2 eiλ j n, поэтому спектральная
			j1

функция равна F (λ) E \|Aj\|2			, если ряд E \|Aj\|2 сходится. Спектральная
λi λ			i1

плотность равна E |Aj|2 в точках λ j .

Пример 9.4. Пусть X n – ортонормированная последовательность случайных величин из прим. 5.7. Для этой последовательности ковариационная

	π	inλ dλ
функция равна K (n) δn,0 e		inλ dλ		, поэтому спектральная мера является
функция равна K (n) δn,0 e			2π	, поэтому спектральная мера является
	π		2π
	π
равномерной на интервале [ π, π] .
Пример 9.5. Пусть X n –		стационарная последовательность со спек-
					π
тральной мерой dF и спектральным представлением X n einλdZ (λ) .
					π
	N
Пусть Yn	c j X n j . Найдем спектральную меру процесса Yn .
	j N
Используя спектральное представление процесса X n , получим
π	N				π
Yn	c jei(n j)λdZ (λ) einλc(λ)dZ (λ)				einλdZ1(λ),
π j N					π

	N
где c(λ)	c je ijλ , dZ1(λ) c(λ)dZ (λ).
	j N

Если G – спектральная функция процесса Yn , а F – спектральная функция процесса X n , то для произвольных чисел b a справедливы равенства

E |Z (b) Z (a)|2 F (b) F (a), E |Z1(b) Z1(a)|2 G(b) G(a), dZ1(λ) c(λ) dZ (λ).

Следовательно, dG(λ) E |dZ1(λ)|2 |c(λ)|2 E |dZ(λ)|2 |c(λ)|2 dF(λ).

Таким образом, установлено, что связь между спектральными мерами случайных процессов X n и Yn описывается формулой

dG(λ) |c(λ)|2 dF(λ) .

Эта формула остается справедливой, если N и c(λ) L2 (dF) .▼ Пример 9.6. Если в прим. 9.5 положить X n ξn, где ξn – ортонормиро-

ванные величины, то процесс Yn превращается в процесс скользящего средне-

		π		2 dλ
	Для этого процесса K (m)	imλ		2 dλ
го.		ck ck m e	\|c(λ)\|			при условии,
го.		ck ck m e	\|c(λ)\|		2π	при условии,
	k	π			2π
	k	π
						2
что	\|c j \|2 . Следовательно, спектральная плотность равна					\|c(λ)\|	. ▼
что	\|c j \|2 . Следовательно, спектральная плотность равна						. ▼
	j					2π
	Пример 9.7 (телеграфный процесс). Телеграфный процесс – это пуассо-
новский процесс X (t) , принимающий значения с .				Для уточнения этой

формулировки определим события An равенством

An {внутри интервала (t, t + τ) происходит n перемен знака}.

Для телеграфного процесса справедливы равенства

P( A )	(λ \|τ\|)n	e λ\|τ\|,	n 0, 1, ..., λ 0.

n	n!

Каждое произведение X (t) X (t τ) равно c2 , если X (t)	и X (t τ) одно-
го знака, и – c2 , если они разных знаков. Следовательно,

P( X (t) X (t τ) c2 ) P( A2k ), P( X (t) X (t τ) c2)	P( A2k 1).
k 0	k 0
Из этих соотношений следует, что

λ|τ|

n (λ | τ |)n

2 2λ|τ|

K (τ) c

( 1)

P( An ) c

( 1)

c e

n 0

2λc2

eiτμdμ.

(9.1)

4 | λ |2 μ2

Эта формула вытекает из следующих соотношений соотношений, ис-

пользующих методы вычисления интегралов с помощью вычетов:

2λc

eiτμdμ

2πi Res

eiτμdμ

4 | λ | μ

4 | λ |

μ 2λi

2λc2

2πi exp{ 2λτ}

c2 exp{ 2λτ}.

4λi

Таким образом, спектральная плотность равна

f (μ)

2λc2

.▼

4 | λ |2

μ2

Упражнение 9.1. Используя методы вычисления интегралов с помощью

вычетов, доказать соотношение (9.1).

Пример 9.8

(белый шум). Белый шум − обобщенный случайный про-

цесс, который не существует в обычном смысле. Для него ковариационная функция является ненормированной обобщенной функцией, которая в самых общих чертах при определяется равенствами K(τ) aδ(τ), где


( ) 0, при τ 0,		δ(0) и	δ(τ)dτ 1.

Применяя обратное преобразование Фурье, получим, что спектральная
	a			a
плотность равна	a	δ(λ)e itλdλ		a	, т. е. постоянна. ▼
плотность равна		δ(λ)e itλdλ			, т. е. постоянна. ▼
	2π			2π

10. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Теорема 10.1. Пусть X (t) – стационарный случайный процесс со спек-

тральной	функцией	F (λ)	и	спектральным		представлением

X (t)	eitadZ (a) . Пусть выполнено условие				a2dF (a) . Тогда

			43

a) существует производная X (t) и ее спектральное представление имеет

вид X (t) iaeitadZ (a) ;

б) ковариационная функция процесса X (t) дважды непрерывно диффе-

ренцируема и K (t) a2eitadF (a) , т. е. спектральная плотность произ-

водной имеет вид dG(a) a2dF(a) .

Доказательство. Из теоремы Тейлора следует, что при выполнении ус-

ловия теоремы 10.1 справедливо соотношение
		eith 1	ia.					(10.1)
		h
Пользуясь соотношением (10.1) и теоремой о предельном переходе под
знаком интеграла, получим
	X (t h) X (t)	lim	ita eith		1			ita
X (t) lim			e			dZ (a)	iae	dZ (a).
X (t) lim	h		e	h		dZ (a)	iae	dZ (a).
h0	h	h0		h

Последнее соотношение доказывает пункт a) теоремы 10.1. Обозначим R(t) ковариационную функцию производной X (t) . Тогда

ita

R(t)

E X (t) X (t) E

iae

dZ (a)

iae

dZ (a)

2 ita

ita

E |Z (a)|

dF (t)

K (t).

Это равенство доказывает пункт б) теоремы 10.1. Здесь использовано соот-

ношение E dZ (a) dZ	(b) δ(a b) dF(a), где δ -функция равна	нулю при
всех аргументах, отличных от нуля, δ(0) 1.▼
11. ПРОБЛЕМЫ ОЦЕНИВАНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
Перейдем к вопросу построения оценок спектральной		плотности

f (λ) F (λ) в предположении, что она существует.

Одним из «интуитивно естественных путей построения» является путь, основанный на следующем представлении:

f (ν) dν lim

fN (ν) dν.

N π

Здесь fN (λ)

|n|

K (n)e iλn. Можно ожидать, что «хорошей» бу-

2π |n| N

дет оценка

|n|

iλn

fN (λ)

K (n)e

2π |n| N

которая получается подстановкой в fN (λ) вместо ковариационной функции

ˆ	Оценку	ˆ	называют пе-
ее несмещенной состоятельной оценки K (n) .	Оценку	fN (x)	называют пе-
риодограммой.
Можно показать, что lim fN (λ) f (λ) и	ˆ
Можно показать, что lim fN (λ) f (λ) и	EfN (λ) fN (λ), т. е. периодо-
N

грамма является асимптотически несмещенной оценкой спектральной плотности. Однако она не всегда бывает состоятельной оценкой. Приведем пример несостоятельности периодограммы.

Пример. Рассмотрим последовательность независимых центрированных нормальных случайных величин. Для нее спектральная плотность постоянна


и равна		1/ (2π).			Можно показать, что для этой последовательности
		1 N 1				iλk	2
							2
ˆ							ˆ
2πfN (λ)				ξk e			. Значит, случайная величина fN (λ) при каждом


			N k 0
значении	N является квадратом модуля комплекснозначной нормальной

случайной величины с нулевым математическим ожиданием и единичной

дисперсией. Поэтому ˆ не может сходиться к детерминированной вели- fN (λ)

чине. ▼ Поскольку периодограмма для важных процессов не является состоя-

тельной оценкой, то ее нельзя использовать для оценивания спектральной плотности. Чтобы исправить положение, в качестве оценок для f (λ) часто

используют оценки вида ˆN ,W (λ) f

	π	ˆ
		ˆ
		WN (λ ν) fN (ν)dν , где функции
	π

WN (λ) называются спектральными окнами. К спектральным окнам предъявляются следующие требования:

n 0, таким

1)ядро WN (λ) имеет резко выраженный максимум в окрестности точки

λ0, что обеспечивает «вырезание» требуемой частоты;

	π
2)	условие WN (λ) dλ 1 обеспечивает условие асимптотической не-
	π
смещенности;
3)	соотношение	ˆ	2	0,	λ [ π, π) является условием
3)	соотношение	E \| fN ,W (λ) f (λ)\|		0,	λ [ π, π) является условием

состоятельности в среднем квадратичном.

Качество «вырезания» определяется подбором окна. В статистической литературе можно найти много предложений такого подбора (см. [5]). Приведем пример окна, предложенного Бартлеттом. Для этого окна

WN (λ) aN B(aN λ),	aN ,	aN	0,	B(λ)	1	sin (λ/2)	2

							.
		N			2π	λ/2

Последовательность aN регулирует размер окна.

12. ЗАДАЧА ЭКСТРАПОЛЯЦИИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

12.1. Задача экстраполяции (постановка задачи)

Пусть X n – стационарный нормальный случайный процесс с дискретным временем имеет нулевое математическое ожидание и ковариационную

функцию K (n) . Задача экстраполяции состоит в выборе оценки ˆ значе-

X m

ния процесса X n , зависящей только от значений процесса Xn,

ˆ	2
образом, чтобы минимизировать E \| Xm Xm \|\| .
Теоретически задача экстраполяции	процесса решается формулой
ˆ	стоит условное математическое
Xm E( Xm \| Xn, n 0), m 0, где справа	стоит условное математическое

ожидание. Формула для вычисления условного математического ожидания для нормального случайного процесса известна и приведена в 1.6. Цель задачи экстраполяции заключается в том, чтобы свести нахождение функции

прогноза	ˆ	к простым и быстрым вычислениям.
	X m

В общем случае обычно находят оптимальную линейную оценку, для чего достаточно решить задачу для нормального процесса с ковариационной

функцией K (n) . Полученная линейная оценка окажется оптимальной линейной оценкой для исходной задачи.

12.2. Задача экстраполяции (алгоритм решения)

Теорема 12.1. Пусть спектральная плотность процесса представима в

Φ e it

виде φ(t)

2, где Φ(z) bk zk

– функция, аналитическая в кру-

2π

k 0

ге |Z| r для некоторого r 1.

Предположим, что функция (z) не имеет корней внутри единичного

круга. Тогда оптимальную оценку можно вычислить по формуле

Φm e

itm

bk z

X m

φˆ m (t)Z (dt), где φˆ m (t) e

, Φm (z)

Φ e it

k m

Прежде чем привести доказательство, продемонстрируем прикладную значимость теоремы 12.1 на примерах ее использования.

12.3. Примеры использования теоремы 12.1

Теорема 12.1 дает практический рецепт нахождения коэффициентов ли-

по функциям e

int

нейного прогноза. Действительно, разлагая φn (t) в ряд

получим

c1e

c2e

i2t

...

φn (t) c0

Из этого разложения следует, что

2it

(c0 c1e

c2e

...) z(dt) c0 X 0

c1X 1 c2 X 2 ...

X n

Задача 12.1. Пусть φ(t)

(5 4 cos t), где φ(t) –

спектральная плот-

2π

ность процесса X n . Построить: a) корреляционную функцию процесса X n ,

б) функцию прогноза

X n .

Решение. а) Корреляционная функция K (n) имеет вид

e it (5 4 cos t)dt

K (0)

(5 4 cos t)dt 5,

K ( 1)

2π π

2π

cos2 (t)dt 2,

K (n) 0,

Таким образом, коррелированны только соседние значения случайного процесса с коэффициентом корреляции ρ 2/5. Следовательно, нетривиальная функция прогноза возможна только на один шаг.

б) Запишем спектральную плотность в виде

2πφ(t) 5 4 cos t | a be it |2 (a be it )(a beit )

\| a \|2 abe it						\| b \|2 2ab cos t 5 4 cos t.
\| a \|2 abe it	baeit \| b \|2 \| a \|2					\| b \|2 2ab cos t 5 4 cos t.
Сравнивая коэффициенты, получим систему уравнений
			2	b	2	5
		a		b		5
			ab 2,
			ab 2,

которая имеет два решения (a 2,			b 1)			и (a 1, b 2) .

Для того чтобы функция Φ(z) | a bz |2 не имела корней внутри единичного круга, следует выбрать решение системы a 2, b 1, поэтому

φ(t)

|2 e it|2, Φ(z) 2 z, Φ

(z) Φ(z), Φ (z) z.

2π

Следовательно,

e it

φ1(t)

2 e it

φ j (t) 0, |j | 1.

2 e it

Представим φˆ1(t) в виде ряда

e it

e2it

k e itk

φ (t)

... ( 1)

... .

2 1

Из этой формулы следует

( 1)k

X 1 ...

X k ... .

2k 1

Это и есть искомая функция прогноза.▼ Задача 12.2. Пусть спектральная плотность процесса равна

φ(t)	1	1	.
φ(t)	2π 25 24 cos t		.
	2π 25 24 cos t

Построить: a) ковариационную функцию процесса X n , б) функцию про-

гноза ˆ .

X n

Решение. а) Используя спектральное представление для ковариационной функции, получим

e2int

3 | n|

K (n)

25 24 cos t

2π

Докажем это равенство. Обозначим буквой C единичную окружность

на комплексной плоскости. Используя теорию вычетов, получим

K (n)

eint

ei(n-1)t

d (eit )

25 12 eit e it )

2π

25 24cost

2πi

zndz

( 3/4)n

( 3/4)|n|.

πi C 24z

50z 24

24πi

C (z 3/4)(z 4/3)

(4/3)

( 3/4)

б) В спектре присутствуют все кратные частоты, поэтому все коэффициенты функции прогноза отличны от нуля. Корреляционная функция быстро убывает, поэтому следует ожидать прогноз, быстро сходящийся к нулю. Вычислим коэффициенты функции прогноза. Запишем знаменатель спектраль-

ной плотности в виде | a be it |2 . Это приведет к равенствам

25 24 cos t a be it 2 a2 b2 2ab cos t 25 24 cos t.

Сравнивая коэффициенты, получим

								2			b			2	25,
						a					b				25,
										ab 12.
										ab 12.

Условию теоремы 12.1 удовлетворяют корни a 4, b 3, поэтому
	1		1 1			1						3					9		2				k	3 k		k
Φ(z)							1							z				z		... ( 1)					z		...	,
Φ(z)	3z		4 1				1					4		z		16		z		... ( 1)					z		...	,
4	3z		4 1		3z/4 4							4				16								4

				1					3 k								1				3 n
	Φn	(z)			( 1)k								zk					( 1)n				znΦ(z),
	Φn	(z)			( 1)k								zk					( 1)n				znΦ(z),
				4 k n					4								4				4

	Φ	n	e it	eitn	1	( 1)n	3	n e itnΦ e it						n
itn							4		1		n	3
				4
φˆ n (z) e										( 1)			.
	Φ e it					Φ e it
									4			4

Из последнего равенства следует, что функция прогноза через n момен-

		ˆ		1	( 1)	n	3	n
тов времени равна X n					( 1)			X0.
				4			4
Задача 12.3.			Пусть			спектральная			плотность процесса равна
φ(t)	1	(38 10 cos t 12 cos (2t)). Построить:							a) ковариационную функцию
φ(t)		(38 10 cos t 12 cos (2t)). Построить:							a) ковариационную функцию
	2π

процесса X n , б) функцию прогноза ˆ n .

Решение. Применяя такие же, как в задачах 12.1 и 12.2, вычисления,

можно получить соотношение Φ(z) z2 z 6 (z 2)(z 3). Это равенство можно легко проверить с помощью соотношений

| Φ(e it) |2 | e it 2 |2| e it 3 |2

(e it 2)(eit 2)(e it 3)(eit 3)

(5 4 cos t)(6 cos t 10) 50 40 cos (t) 30 cos t 24 cos2 t

50 10 cos t 12(1 cos (2t)) 38 10 cos t 12 cos (2t).

Как и в задаче 12.2, используя методы вычисления интегралов с помощью вычетов, получим ковариационную функцию процесса

π	eitnφ(t) dt	1	π	eitn (38 10 cos t 12 cos (2t)) dt.
K (n)
		2π
π			π

Из этой формулы следуют равенства

K(0) 38, K( 1) 5, K( 2) 6, K(n) 0 для | n | 2.

Из

вида

ковариационной

функции следует, что требуется вычислять

только

ˆ ˆ

, поскольку остальные функции прогноза тождественно равны

X1, X 2

нулю. Ограничимся вычислением

X1 . Используя схему решения задач 12.1 и

12.2, получим

it Φ1 e it

e2it e it

e it 1

φ1(t) e

Φ e it

e it 2 e it 3

φ2 (t)

Φ e it

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Статистика случайных процессов

#
08.07.2017214.73 Кб9exam_expamle.jpg
#
08.07.20171.25 Mб83ЕГОРОВ В.А.- Обработка траекторий случайных процессов.pdf