ЕГОРОВ В.А.- Обработка траекторий случайных процессов

6.2. Спектральное представление для стационарных процессов

Выведем спектральное представление для стационарного в широком смысле случайного процесса X (t). Рассуждения проводятся для непрерывного времени. Дискретный случай рассматривается аналогично. Приводимые рассуждения аналогичны рассуждениям, используемым при построении стохастического интеграла.

Напомним, что M1 M – это множество всевозможных конечных линейных комбинаций случайных величин X (t) ; M H – замыкание M1 в метрике гильбертова пространства H. Обозначим через L1 множество все-

n it λ

возможных тригонометрических многочленов вида Q(λ) c je j , через L

j1

обозначим замыкание L1 в метрике L2 (dF ) , где F – спектральная функция из теоремы 6.3.

Определим взаимно однозначное линейное соответствие между множеством M1 и множеством L1 с помощью соотношения

Покажем, что соответствие « » является изоморфизмом, т. е. сохраняет скалярные произведения.

Можно считать, что разбиения для построения функций одинаковы, так как всегда можно взять более мелкое разбиение. С учетом этих соглашений скалярное произведение двух линейных комбинаций значений процесса можно записать в виде

31

Таким образом, соотношение (6.3) устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами линейных многообразий M1 и L1 , причем (6.3) сохраняет скалярные произведения. Это соответствие с помощью стандартных рассуждений и с сохранением скалярного произведения распространяется на соответствие между элементами M и L .

Распространение происходит по следующей схеме.

Выберем произвольное x M. Для него можно построить последова-

тельность xn , такую, что xn x, xn M1 в метрике пространства H . Затем, используя сохранение скалярного произведения при соответствии xn fn,

легко показать, что fn – последовательность Коши. Из полноты L2 (dF ) сле-

дует, что для некоторого f L2(dF ) справедливо соотношение fn n f . За-

тем полагаем x f . Изоморфизм при этом отображении сохраняется в силу непрерывности скалярного произведения.

Обозначим Z (a) случайную величину, соответствующую индикаторной функции I( , a](λ) , т. е. для которой I( , a](λ) Z (a) . Проверим, что процесс Z (a) является процессом с ортогональными приращениями. Пусть для чисел a, b, c, d справедливы неравенства a b c d. В силу того, что интервалы (a, b] и (c, d ] не пересекаются, получим

32

Затем по линейности это соответствие распространяется на все линейные комбинации индикаторных функций, т. е. на L1. Произвольная функция

f из L является пределом в метрике L2 (dF ) последовательности функций fn из L1. Поскольку последовательность fn сходится, она является последо-

вательностью Коши. В силу сохранения скалярного произведения при соот-

ветствии « » последовательность интегралов fn (a) dZ (a) также являет-

π

Упражнение. Вывести представление (6.8).

33

7. ОЦЕНИВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Определение 7.1. Линейный оператор PI , заданный на замкнутом подпространстве M , называется оператором проектирования на подпространст-

34

Поскольку U j унитарные операторы, то норма числителя ограничена, поэтому в рассматриваемом случае Vm,n X 0 при (n m) .

Докажем, что подпространства I , N являются ортогональными дополнениями друг друга.

Сначала докажем включение I N , где N – ортогональное допол-

Следовательно, X N , откуда следует, что I N .

Покажем, что N I .

Рассмотрим произвольный элемент X из N . Тогда для любого Z M справедливы равенства

X I , откуда следует, что N I .

вторая часть теоремы 7.1. ▼

Следствие. Предельная случайная величина Y в теореме 7.1 равна нулю тогда и только тогда, когда

35

Здесь использовано соотношение

ное подпространство.▼ Пример 7.2. Рассмотрим процесс скользящего среднего из прим. 5.7.

Пусть N – пространство, натянутое на случайные величины {ξn}, N .

n

последовательности di тоже является оператором сдвига. В координатной последовательности инвариантное пространство состоит из последовательностей, состоящих из констант. Среди них квадратично-суммируемой последовательностью является только последовательность, состоящая из нулей. Таким образом, всегда Y 0 .

Это можно было установить также, используя следствие к теореме 7.1. Действительно, было показано, что для модели скользящего среднего

38

8. ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

Рассмотрим вопрос о состоятельности оценки ковариационной функции.

вие выполняется, только если случайный процесс X (t) обладает конечными четвертыми моментами. Далее задача оценивания функции K (n) рассматривается только для гауссовского случая, для которого все моменты существуют.

Теорема 8.1. Пусть X (t) − стационарный вещественный гауссовский процесс с дискретным временем и с математическим ожиданием, равным ну-

лю. Для состоятельности оценки ˆ необходимым и достаточным является

K (n)

условие

1N 1

K 2 (n) 0.

N n0

Это условие равносильно непрерывности спектральной функции. Доказательство. Для простоты будем считать исходный процесс веще-

ственным. В силу несмещенности оценки ˆ условием, равносильным со-

K (n)

стоятельности в среднем квадратичном, является условие

39

K(n k)K (n k) K 2(n) K 2(k) K (n k)K (n k).

Следовательно, в гауссовском случае достаточным условием для состоя-

N k 0

Из неравенства

K (n k) K (n k) K 2(n k) K 2(n k)

следует, что достаточным условием состоятельности рассматриваемой оценки ковариационной функции будет условие: при любом n

40