- •Условие изоморфизма конечномерных линейных пространств
- •Матрица перехода к новому базису, изменение координат вектора.
- •Формула для размерности суммы двух подпространств
- •Прямая сумма подпространств, различные определения
- •Линейное отображение векторных пространств, ядро и образ.
- •Матрица линейного отображения (оператора), переход к новому
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора а, способы их нахождения.
- •Существование одно- или двумерного инвариантного подпространства относительно оператора, действующего в вещественном пространстве
- •Критерий диагонализируемости линейного оператора
- •Жорданова форма матрицы. Алгоритм нахождения Жордановой нормальной формы матрицы.
- •Сопряженное пространство, дуальные базисы, второе сопряженное пространство
- •Билинейные функции и формы, изменение матрицы при переходе
- •Алгоритм Лагранжа для приведения квадратичной формы к
- •Закон инерции вещественных квадратичных форм.
- •Положительно определенные квадратичные функции. Критерий Сильвестра.
- •Евклидовы пространства, условие изоморфизма.( не точно!)
- •Неравенство Коши-Буняковского. Модуль вектора, расстояние и косинус угла между векторами.
- •Процесс ортогонализации Грама-Шмидта
- •Ортогональное дополнение к подпространству евклидова пространства.
- •Ортогональные операторы и ортогональные матрицы. (не весь!)
- •Простейший вид матрицы ортогонального оператора евклидова пространства.
- •Сопряженные операторы
- •Симметрические операторы и симметрические матрицы.
- •Существование ортогонального базиса из собственных векторов симметрического оператора
- •Норма оператора. Норма симметрического оператора.
- •Приведение квадратичной формы ортогональным преобразованием к главным осям
- •Приведение пары форм к диагональному виду
- •Число обусловленности матрицы. Связь с приближенным решением систем линейных уравнений
-
Алгоритм Лагранжа для приведения квадратичной формы к
диагональному виду.
Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть
есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:
-
хотя бы один из коэффициентов при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать(этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
-
все коэффициенты , но есть коэффициент, отличный от нуля (для определённости пусть будет).
В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:
где , а черезобозначены все остальные слагаемые.представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных.
С ней поступают аналогичным образом и так далее.
Заметим, что
Второй случай заменой переменных сводится к первому.
-
Закон инерции вещественных квадратичных форм.
Число положительных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы называемое положительным индексом инерции; число отрицательных коэффициентов называемое отрицательным индексом инерции и число нулевых коэффициентов называемое дефектом квадратичной формы являются инвариантами, т.е. не зависят от базиса, в котором данная квадратичная форма принимает нормальный вид.
-
Положительно определенные квадратичные функции. Критерий Сильвестра.
Определение. Квадратичная функция на линейном пространстве L называется положительно определенной, если ; отрицательно определенной, если .
-
Евклидовы пространства, условие изоморфизма.( не точно!)
Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если каждой паре элементов этого пространства поставлено в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением, причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:
Вещественное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством. Нормой элемента a ∈ V называется число p ν(a, a).
Изоморфизмом линейных пространств называется биективный линейный оператор. Два линейных пространства U и V называются изо- морфными, если существует изоморфизм из U в V .
-
Неравенство Коши-Буняковского. Модуль вектора, расстояние и косинус угла между векторами.
Неравенство Коши–Буняковского.
Модулем (длиной) вектора называется длина(норма) соответствующего отрезка и обозначается как .
Для любых двух ненулевых векторов x и y евклидова пространства E со скалярным призведением (x, y) определен угол между векторами x и y:
Для любых двух ненулевых векторов x и y евклидова пространства E со скалярным призведением (x, y) определено расстояние между векторами x и y:
-
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта
Пусть – базис евклидова пространства V . Тогда элементы
являются ортогональным базисом V . Более того, если – система образующих V , то ненулевые элементы набораобразуют базис пространства V .
-
Ортогональное дополнение к подпространству евклидова пространства.
Определение: Два подпространства и унитарного (евклидова) пространства наз-ся ортогональными , если : или
Вектор, ортогональный к подпространству : Пусть L – линейное подпространство евклидова (унитарного) пространства . Вектор x называется ортогональным к подпространству L, если он ортогонален каждому вектору из этого подпространства. Обозначение: .
Ортогональное дополнение к подпространству: Пусть L – линейное подпространство евклидова пространства . Совокупность всех векторов , ортогональных подпространству L, называется ортогональным дополнением к L. Обозначение: .
Т. об ортогональном дополнении как подпространстве : Ортогональное дополнение к подпространству является линейным подпространством того же пространства.