- •Условие изоморфизма конечномерных линейных пространств
- •Матрица перехода к новому базису, изменение координат вектора.
- •Формула для размерности суммы двух подпространств
- •Прямая сумма подпространств, различные определения
- •Линейное отображение векторных пространств, ядро и образ.
- •Матрица линейного отображения (оператора), переход к новому
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора а, способы их нахождения.
- •Существование одно- или двумерного инвариантного подпространства относительно оператора, действующего в вещественном пространстве
- •Критерий диагонализируемости линейного оператора
- •Жорданова форма матрицы. Алгоритм нахождения Жордановой нормальной формы матрицы.
- •Сопряженное пространство, дуальные базисы, второе сопряженное пространство
- •Билинейные функции и формы, изменение матрицы при переходе
- •Алгоритм Лагранжа для приведения квадратичной формы к
- •Закон инерции вещественных квадратичных форм.
- •Положительно определенные квадратичные функции. Критерий Сильвестра.
- •Евклидовы пространства, условие изоморфизма.( не точно!)
- •Неравенство Коши-Буняковского. Модуль вектора, расстояние и косинус угла между векторами.
- •Процесс ортогонализации Грама-Шмидта
- •Ортогональное дополнение к подпространству евклидова пространства.
- •Ортогональные операторы и ортогональные матрицы. (не весь!)
- •Простейший вид матрицы ортогонального оператора евклидова пространства.
- •Сопряженные операторы
- •Симметрические операторы и симметрические матрицы.
- •Существование ортогонального базиса из собственных векторов симметрического оператора
- •Норма оператора. Норма симметрического оператора.
- •Приведение квадратичной формы ортогональным преобразованием к главным осям
- •Приведение пары форм к диагональному виду
- •Число обусловленности матрицы. Связь с приближенным решением систем линейных уравнений
-
Матрица линейного отображения (оператора), переход к новому
базису, ранг, детерминант оператора.
Матрица линейного оператора. Пусть U и V – конечномерные пространства, L : U → V – линейный оператор, f – базис U, а g – базис V . Матрицей оператора L в базисах f, g называется такая матрица , что для любого x∈ U выполнена формула (нетрудно доказать, что такая матрица существует и единственна). 9 В наиболее важном случае, когда U = V и f = g матрица оператора обозначается через , а формула приобретает вид
Переход к новому базису
k-й столбец матрицы равен столбцу координат векторав базисе f. Одной формулой:
=
В качестве определения матрицы перехода можно взять любую из формул
Ранг матрицы оператора не зависит от выбора базиса и равен размерности образа этого оператора
Определитель матрицы оператора не зависит от выбора базиса и равен произведению собственных чисел оператора с учетом их алгебра- ической кратности
-
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора а, способы их нахождения.
Пусть , где V – n- мерное линейное пространство.
Определение: Число λ - называется собственным значением (с.з.) линейного оператора А, если такой, что . При этом элемент (вектор) x называется собственным вектором (с.в.) оператора А.
Здесь , если V – вещественное линейное пространство, и , если V – комплексное линейное пространство.
Критерий (существования собственного значения линейного оператора А):
Для того, чтобы λ было собственным значением линейного оператора А, необходимо и достаточно чтобы это число было корнем характеристического уравнения оператора А.
Доказательство:
Пусть - произвольный базис пространства V. - матрица оператора А в данном базисе. Тогда имеем в обе стороны (необходимость и достаточность):
(1по критерию существования ненулевых решений однородной СЛАУ.)
Правила нахождения с.з. и с.в. линейного оператора А.
1) Выбираем в пространстве базис и записываем матрицу оператора .
2) Находим все собственные значения как корни характеристического уравнения .
3) Решая однородную СЛАУ для каждого с.з.- я находим координаты соответствующих ему собственных векторов.
Определение: Множество всех собственных значений оператора А называется спектром оператора А.
-
Существование одно- или двумерного инвариантного подпространства относительно оператора, действующего в вещественном пространстве
-
Критерий диагонализируемости линейного оператора
Определение: Квадратная матрица А порядка n называется диагональной, если она имеет вид:
Определение: Линейный оператор называется диагонализуемым, если в линейном пространстве существует базис, в котором матрица А данного линейного оператора имеет диагональный вид.
Доказательство:
Необходимость:
Пусть в базисе имеем . Тогда по определению матрицы линейного оператора можно записать:
Достаточность:
Пусть базис состоит из собственных векторов. Тогда .
Теорема 2: (Достаточное условие диагонализуемости матрицы линейного оператора).
Пусть dimV=n, если линейный оператор имеет n попарно различных с.з., , то в линейном пространстве V существует базис , в котором матрица Ae оператора А имеет диагональный вид, причем этот базис состоит из с.в-в.
А – диагонализуем тогда и только тогда, когда существует базис из его собственных векторов (оператор называется диагонализуемым, если существует базис простран- ства V , такой что матрица оператора в этом базисе является диагональ- ной).