При равномерном вращении твердого тела

  ,   const и  = ₀ + t.

При равноускоренном вращении

  const,  = ₀ t   ₀ + ₀t + t²/2

3.СИЛЫ. МАССА. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА.

Взаимодействие тел характеризуется физической величиной, которая называется силой. Сила является количественной мерой действия тел друг на друга, в результате которых они изменяют состояние своего движения.

Изменение состояния покоя или движения какого-либо тела всегда вызывается действием на него сил, исходящих от определенных других тел. Примеры.

Если бы на данное тело не действовали никакие силы со стороны других тел, то оно или находилось бы в неизменном состоянии покоя, или двигалось прямолинейно и равномерно. Состояние равномерного прямолинейного движения считается неизменным состоянием движения, поскольку это единственный вид движения с постоянной по величине и направлению скоростью и W = 0. Состояние покоя можно считать частным случаем равномерного прямолинейного движения, скорость которого равна 0.

Силы, как количественная мера взаимодействия тел, характ. не только своей величиной, но и направлением действия и точкой прило- жения, т.е. сила – вектор.

В механике рассматривают 1)гравитационные силы (силы тяжести), 2)силы упругие, которые действуют как между соприкасающимися телами, так и между соседними слоями одного и того же тела. Упругие силы возникают в результате деформации тел и зависят от величины деформаций, 3) силы трения, действующие на соприкасающиеся поверхностные слои тел и зависящие как от состояния поверхностей соприкосновения, так и от относительной скорости тел.

Если на материальную точку действуют две силы F₁ и F₂ то их действие эквивалентно действию равнодействующей силе

R = F₁ + F₂

F₁

R

F₂

Если к материальной точке приложены F₁, F₂, …F_n сил, то их складывают по такому же принципу.

R = F_i,

или можно построить силовой многоугольник.

F₁ F₂

F₃

0 R F₅ F₄

Измерение сил производят путем количественного сравнения конкретных результатов их действия. Опыт показывает, что под действием одной и той же силы различные тела испытывают неодинаковые ускорения, т.е. изменение их инерциального движения различно. Мы говорим, что различна инерция этих тел. Физической величиной, характеризующей инертность материального тела, является его масса.

Ньютон определил массу как количество вещества, содержащегося в теле. Это определение нельзя считать строгим и исчерпывающим, т.к. при больших скоростях масса одного и того же тела может изменяться при движении. Но будем пока пользоваться определением Ньютона.

Масса характеризует не только инерцию материального тела, но и его гравитационные свойства.

Величину массы определяют по различным ее проявлениям (инерции, тяготению) путем сравнения с массой какого-либо эталонного тела, произвольно принятого за единицу. Единицей массы в системе СИ является эталон 1 кг.

Изучая действие сил на движение тел, был сформулирован первый закон Ньютона (Галилей): точечное тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку действие внешних сил не вынудит его изменить это состояние.

Свойство тел сохранять скорость неизменной (в частности равной нулю) при отсутствии действующих на них сил называется инертностью. Поэтому равномерное прямолинейное движение тел часто называют движением по инерции, а 1-ый зак. Ньютона - законом инерции.

Установленный Ньютоном второй закон механики указывает, каким будет характер движения точечного тела при действии на него заданных сил.

При действии сил движение тела перестает быть равномерным и прямолинейным и появляется ускорение W. Направление его совпадает с направлением F.

W  F при m = const. (1)

При действии одной и той же силы F на разные тела W этих тел оказываются различными, причем

W  1/m (2)

при F = const. Объединяя (1) и (2) получаем, что

W  F/m, или F  mW

F = kmW,

но единицу силы выбирают так, что к = 1 и тогда

F = mW = mdV/dt = d/dt (mV) = dP/dt, (3)

где Р – импульс (количество движения) материальной точки.

Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

1 Н – сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение, равное 1 м/с².

Сила веса 1кГ, тогда 1Н = 0,102 кГ; 1 кГ = 9,81 Н.

До сих пор мы рассматривали влияние других тел на характер движения данного выделенного тела (материальной точки). Такое влияние не может быть односторонним, взаимодействие должно быть обоюдным. Этот факт отражается третьим законом Ньютона, сформулированным для случая взаимодействия 2-х мат. точек: Если материальная точка m₂ испытывает со стороны матер. точки m₁ силу равную F₁₂, то m₁ испытывает со стороны m₂ силу F₂₁, равную по величине и противоположную по направлению F₁₂.

F₂₁ = - F₁₂

F₂₁ F₁₂

   силы отталкивания

m₁ m₂

F₂₁ F₁₂

   силы притяжения

m₁ m₂

Эти силы действуют всегда вдоль прямой, проходящей через точки m₁ и m₂ .

В случае произвольно большого множества точек взаимодействие в такой системе согласно 3-му зак. сводится к парному взаимодействию между любыми двумя точками. Т.е. например, сила, испытываемая точкой m₃ системы, складывается из сил, действующих со стороны точек m₁, m₂, m₄, m₅ и т.д.

F₃ = F₁₃ + F₂₃ +F₄₃ +F₅₃ + …

Часто употребляется такая формулмровка 3-го закона; «действие равно противодействию» – это неполная формулировка, т.к. в ней не подчеркивается важное обстоятельство: силы действия и противодействия приложены всегда к различным телам и поэтому никогда не уравновешивают друг друга.

Пример: когда человек идет по земле, то сила, с которой он отталкивает землю назад, равна по величине и направлена обратно той силе, с которой земля отталкивает человека вперед. При равенстве этих сил, однако, согласно 2-го зак. Ньютона, возникающие ускорения обратно пропорциональны массам, и землю благодаря ее очень большой по сравнению с человеком массе можно считать практически неподвижной.

4.СИЛЫ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ.

Мы рассмотрели, что при криволинейном движении (и движении по окружности) тела вектор ускорения

W = W_ +W_n | m.

Но согласно 2-му зак. Ньютона, вектор ускорения тела W направлен параллельно действующей силе F и равен F/m. Следовательно, на тело, движущееся по криволинейному пути, действует сила, направленная под тем же углом к траектории, что и вектор ускорения этого тела.

Поскольку из равенства векторов следует и равенство их проекций на любое направление, то и действующая сила F также может быть представлена в виде суммы F_ +F_n, направленных параллельно соответствующим составляющим ускорения, т.е. по касательной и нормали к траектории тела:

F_ = mW_ = mdV/dt; F_n = mW_n = mV²/R.

Касательная составляющая силы F_ направлена по касательной и определяет изменение скорости тела только по величине. Сила F_n, определяющая изменение скорости тела по направлению, называется центростремительной силой.

М W_ F_ V

 F = m(dV/dt)² + (V²/R)² ;

tg = F_n/F_ = V²/(R dV/dt);

W_n W  < 90⁰ – ускоренное движение,

 > 90⁰ – движение замедленное,

F_n F  = 90⁰ , тогда tg = tg90⁰ = , что возможно при dV/dt = 0. Значит, в этом случае величина V = const, при этом также F_ = dV/dt = 0, поэтому результирующая сила, действующая на тело, по величине окажется равной

F = F_² + F_n² = F_n = mV²/R,

т.е. будет являться центростремительной силой, изменяющей лишь направление скорости, но не ее величину. И наоборот, если при криволинейном движении тела величина его скорости не изменяется с течением времени и dV/dt =0, тогда, поскольку tg = , действующая на него сила будет направлена V.

В частности, если точечное тело равномерно движется по окружности радиуса R, то dV/dt = 0  F_ = m dV/dt = 0 и F = F_n = mV²/R не будет меняться со временем, т.к. R = const и V = const.

Если вращающееся тело удерживается на окружности вращения другим телом, называемым связью, и при этом для движения существенны лишь силы взаимодействия между ними, то центростремительная сила, направленная к центру вращения, будет приложена к самому вращающемуся телу со стороны связи. Согласно 3-му зак. Ньютона, вращающееся тело должно действовать на связь с такой же по величине, но противоположно направленной силой. Эта сила, действующая на связь со стороны вращающегося тела, по величине равна mV²/R и направленая вдоль радиуса от центра вращения, называется центробежной.

ПРИМЕР:

1. Вращение шарика, привязанного к нити.

2. Движение автомобиля

3. Полет самолета во время «петли»

4. Движение поезда на повороте.