Дано: |
Решение: |
|
|
|
W1 =0,2 мДж= 2 10−4 Дж |
Частота колебаний: |
|||
n=2 |
|
1 |
|
|
|
ν = |
|
, |
|
|
|
T |
||
А-? |
|
|||
|
|
|
|
|
где Т – период колебаний |
– определяется по формуле: |
|||
|
T = 2π LC . |
|||
По условию задачи: |
|
|
|
|
|
ν2 |
= n . |
||
|
ν |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
При раздвигании пластин меняется ёмкость конденсатора:
|
|
C1 |
= |
ν2 |
= n , |
|||
|
|
C |
2 |
|
ν |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Выразим C2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
= n2 , C2 |
= |
C1 |
. |
|||
|
C2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n2 |
||
Заряд не меняется:
Q = C1ϕ1 = C2ϕ2 = const .
Выразим ϕ2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
2 |
= |
C1 |
|
ϕ = n2ϕ . |
||||
|
|
||||||||
|
|
C2 |
|
1 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Начальная энергия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
= |
|
C ϕ2 |
||||
|
|
|
|
1 1 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Энергия после раздвигания пластин: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W = |
C |
ϕ2 |
= n2W . |
||||||
|
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдём работу:
A = W2 − W1 = n2W1 − W1 = (n2 −1)W1 .
Произведя вычисления по этой формуле, получим: А=0,6 мДж.
Ответ: А=0,6 мДж.
Занятие №28. Затухающие, вынужденные колебания. Сложение колебаний.
Основные формулы
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
|
|
x + 2δx + ω02x = 0 , |
(1) |
где δ = |
r |
- коэффициент затухания колебаний; |
|
2m |
|
||
|
|
|
13
r - коэффициент сопротивления среды; ω0 - собственная частота колебаний. Решение уравнения (1):
x = A(t)cos( ω2 |
−δ2 t) , |
(2) |
0 |
|
|
где ω02 −δ2 - частота затухающих колебаний;
A(t) = A0e−δt - изменяющаяся со временем амплитуда.
δ = 1τ ,
где τ - время релаксации (промежуток времени, через который амплитуда уменьшается в е раз).
Логарифмический декремент затухания колебаний: |
|
|
||||
Θ = ln |
A(t) |
= ln |
A0e−δt |
= δT . |
(3) |
|
A(t + T) |
A0e−δ(t +T) |
|||||
|
|
|
|
|||
Добротность: |
|
|
|
|
|
Q = 2π |
E(t) |
= 2π |
E(t) |
. |
|
E(T) |
E(t) − E(t + T) |
||||
|
|
|
Добротность связана с логарифмическим декрементом формулой:
|
Q = |
π |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Θ |
|
||
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний: |
|||||
|
x + 2δx +ω2x = |
F0 |
cosωt , |
||
|
|
||||
|
0 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
где F = F0 cosωt - периодическая вынуждающая сила. |
|
||||
Решение уравнения (6): |
|
|
|
|
|
|
x = A cos(ωt + ϕ) , |
||||
F0 |
|
|
|
|
|
где A = m (ω02 −ω2 )2 + 4δ2ω2 |
- амплитуда вынужденных колебаний; |
||||
(4)
(5)
(6)
(7)
ϕ = arctg |
2δω |
|
- начальная фаза вынужденных колебаний. |
|
|
2 |
2 |
|
|||
ω −ω |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Частота вынужденных колебаний при резонансе: |
|
||||
|
|
|
ω = |
ω2 − 2δ2 . |
(8) |
|
|
|
рез |
0 |
|
Колебание, получающееся при сложении двух одинаково направленных колебаний одинако-
вой частоты x1 = A1 cos(ωt + ϕ1) и x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 ) : |
|
x = A cos(ωt + ϕ) , |
(9) |
где A = |
A2 |
+ A2 + 2A A |
2 |
cos(ϕ |
2 |
−ϕ ) - амплитуда колебания; |
|
||||||
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
tgϕ = |
A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 |
- тангенс начальной фазы колебания. |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
A cosϕ + A |
2 |
cosϕ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение биений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω +ω |
|
(10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = A(t)cos |
1 |
2 t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
14
|
ω −ω |
|
|
|
|
|
|
где A(t) = 2Acos |
1 2 |
t - закон изменения амплитуды. |
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Период биений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тб = |
ТА |
= |
2π |
. |
(11) |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
ω1 −ω2 |
|
||
Частота биений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωб = ω1 −ω2 . |
(12) |
||||
Уравнение траектории материальной точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты x = A1 cos(ωt + ϕ1) и y = A2 cos(ωt +ϕ2 ) :
|
x2 |
+ |
y2 |
− 2 |
xy |
|
cos(ϕ2 −ϕ1) = sin2 (ϕ2 −ϕ1) . |
(13) |
||
|
A2 |
A2 |
A A |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
||||
Собственная частота колебательного контура: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ω0 = |
1 . |
(14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
Коэффициент затухания колебательного контура: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
δ = |
R |
. |
(15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2L |
|
|
Примеры решения задач
Пример №1. Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями x1 = 3cos 2πt , см и x2 = 3cos(2πt + π/ 4), см. Определите для результирующе-
го колебания: 1) амплитуду; 2) начальную фазу. Запишите уравнение результирующего колебания и представьте векторную диаграмму сложения амплитуд.
Дано:
x1 = 3cos 2πt , см
x2 = 3cos(2πt + π/ 4), см
1) А-? 2) ϕ-? 3) x(t)-?
Разность фаз:
Решение:
Запишем уравнения колебаний в общем виде:
x1 = А1 cos(ωt +ϕ1 ), x1 = А2 cos(ωt + ϕ2 ).
Сравнивая с уравнениями из условия, находим:
ω= 2π, А1 = А2 = 3 см, ϕ1 =0, ϕ2 = π4 .
ϕ= ϕ2 −ϕ1 = π4 .
Результирующее колебание:
x = Аcos(ωt +ϕ).
Начальную фазу определим по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
||
tgϕ = |
A1 sin ϕ1 + A |
2 sin ϕ2 |
= |
sin ϕ1 |
+sin ϕ2 |
||||
A cosϕ + A |
|
cosϕ |
|
||||||
|
2 |
cosϕ |
2 |
|
+ cosϕ |
2 |
|||
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|||
Формула для амплитуды:
A = 
A12 + A22 + 2A1A2 cos ϕ = A1 
2(1+cos
Подставляя значения, находим:
.
ϕ) .
15
|
|
|
sin 0 |
+sin |
π |
|
|
π |
|
|
tgϕ = |
4 |
= 0,414 , |
ϕ = |
, |
||||
|
cos0 |
+ cos |
π |
8 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||
A = 3 |
|
+ cos |
π |
|
|
|
|
|
|
2 1 |
=5,54 см, x = 5,54cos 2πt + |
||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1) А=5,54 см; 2) |
ϕ = |
π |
; 3) |
|
π |
|
8 |
x = 5,54cos 2πt + |
8 |
, см. |
|||
|
|
|
|
|
||
π , см. 8
Пример №2. Результирующее колебание, получающееся при сложении двух гармонических колебаний одного направления, описывается уравнением вида x = A cos t cos 45t (t – в секундах). Определите: 1) циклические частоты складываемых колебаний; 2) период биений результирующего колебания.
Дано: |
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = A cos t cos 45t |
Результирующее колебание: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x = x1 + x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) ω1 -? ω2 -? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) Тб -? |
Или: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ω −ω |
|
|
|
ω + ω |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x = 2A cos 1 |
2 |
2 t cos |
1 |
|
2 |
2 t |
+ ϕ . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сравнивая с уравнением из условия, определяем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ω1 −ω2 |
=1; |
ω −ω |
2 |
= 2 ; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ω1 + ω2 |
= 45; |
ω + ω |
2 |
|
= 90 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решая совместно полученные уравнения, находим ω1 и ω2 : |
|
||||||||||||||||||
|
2ω = 92 ; ω = 46 с−1 ; ω |
2 |
|
= 44 с−1 . |
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Период биений вычисляем по формуле: |
Тб |
= |
2π |
|
= |
2π |
|
= 3,14 с. |
|||||||||||
|
2с−1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|||||||
Ответ: 1) ω = 46 с−1 , ω = 44 с−1 ; 2) Т |
б |
|
= 3,14 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример №3. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравне-
ниями |
|
ωt + |
π |
y = Bsin ωt . Определите уравнение траектории точки и вычертите её |
|
x = Asin |
2 |
и |
|||
|
|
|
|
|
|
с нанесением масштаба, указав направление её движения по этой траектории.
16
Дано: |
|
|
|
Решение: |
|
|
|
ωt + |
π |
Преобразуем уравнение для колебания вдоль оси x: |
|||
x = Asin |
2 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
ωt + |
|||
y = Bsin ωt |
|
|
x = Asin |
= Acosωt . |
||
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
Возведя оба уравнения в квадрат и сложив их, избавимся от параметра t |
|||
y(x)-? |
|
|
||||
иполучим искомое уравнение траектории:
x2 + y2 = A2 cos2 ωt + A2 sin2 ωt = A2 (cos2 ωt +sin2 ωt)= A2 .
Уравнение x2 + y2 = A2 является уравнением окружности радиуса А. Определим направление движения:
t=0 x=A, y=0; t = T4 x=0, y=A; t = T2 x=-A, y=0; t = 34T x=0, y=-A – против часовой стрелки.
Ответ: x2 + y2 = A2 , против часовой стрелки.
Пример №4. Период затухающих колебаний Т=1 с, логарифмический декремент затухания Θ =0,3, начальная фаза равна нулю. Смещение точки при t=2T составляет 5 см. Запишите уравнение движения этого колебания.
Дано: |
Решение: |
|
|
Т=1 с |
Запишем уравнение затухающих колебаний: |
||
Θ =0,3 |
x = A0e−δt cosωt (учли, что ϕ=0). |
||
ϕ=0 |
Циклическая частота: |
|
|
t=2T |
|
|
|
ω = |
2π |
||
x1 =5 см=0,05 м |
|
. |
|
T |
|||
|
Коэффициент затухания δ найдём из соотношения: |
||
x(t)-? |
|||
|
Θ = δT ; δ = Θ . |
|
|
|
T |
|
|
В момент времени t=2T:
−δ 2T cos 2Tπ 2T = A0e−2Θ .
Отсюда амплитуда в начальный момент времени:
A |
0 |
= x e 2Θ . |
|
|
|
1 |
|
|
|
Таким образом, наше уравнение предстаёт в виде: |
|
|
||
|
|
x = A0e−δΘT cos |
2π |
t . |
|
|
|
||
|
|
|
T |
|
Подставляя численные значения, получаем: x = 9,1e−0,3t cos2πt , см.
Ответ: x = 9,1e−0,3t cos 2πt , см.
17
Пример №5. При наблюдении затухающих колебаний выяснилось, что для двух последовательных колебаний амплитуда второго меньше амплитуды первого на 60%. Период затухающих колебаний Т=0,5 с. Определите: 1) коэффициент затухания δ ; 2) для тех же условий частоту ν0
незатухающих колебаний.
Дано: |
Решение: |
|
|
А2 = 0,4А1 |
Логарифмический декремент колебаний по определению: |
||
Т=0,5 с |
|||
|
|
A1 |
|
1) δ -? |
Θ = ln |
||
|
|
. |
|
2) ν0 -? |
A2 |
||
Логарифмический декремент связан с коэффициентом затухания δ соотношением:
Θ = δT .
Выразим δ :
δ= 1 ln A1 . T A2
Циклическая частота затухающих колебаний:
ω = 2Tπ .
С другой стороны:
ω = 
ω02 −δ2 .
Отсюда выражаем циклическую частоту незатухающих колебаний:
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = |
ω2 + δ2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частота незатухающих колебаний: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ν |
|
= |
ω |
= |
1 |
|
2π 2 |
|
1 |
ln |
A |
2 |
= |
1 |
2 |
|
A |
2 |
0 |
0 |
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
(2π) |
+ ln |
1 |
. |
|||||
|
|
2π 2π |
T |
|
|
|
|
|
|
2πT |
|
|
|
|
||||
|
|
|
T |
|
A2 |
|
|
|
A2 |
|||||||||
Подставляя данные величины в выражения для δ и ν0 , получаем:
δ =1,83 с−1 ; ν0 =2,02 Гц.
Ответ: 1) δ =1,83 с−1 ; 2) ν0 =2,02 Гц.
Пример №6. За время, в течение которого система совершает N=50 полных колебаний, амплитуда уменьшается в 2 раза. Определите добротность Q системы.
Дано: Решение:
N=50
A0 = 2 AN
Q-?
Добротность связана с логарифмическим декрементом формулой: Q = Θπ .
Логарифмический декремент:
Θ= δT . 18
Амплитуда через N колебаний:
AN = A0e−δt = A0e−δNT = A0e−ΘN .
Выразим Θ :
|
A0 |
= eΘN = 2 ; ΘN = ln 2 ; Θ = |
ln 2 |
. |
||
|
|
|
||||
|
AN |
N |
||||
Подставим Θ в формулу для добротности: |
|
|
||||
|
|
Q = |
πN |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
ln 2
Произведя расчёт, получим: Q=227.
Ответ: Q=227.
Пример №7. Определите минимальное активное сопротивление при разрядке лейденской банки, при котором разряд будет апериодическим. Ёмкость C лейденской банки равна 1,2 нФ, а индуктивность проводов составляет 3 мкГн.
Дано: |
|
Решение: |
|
|
|
|
C=1,2 нФ=1,2 10−9 Ф |
|
При апериодическом разряде: T → ∞, ω → 0 . |
||||
L=3 мкГн= 3 10−6 Гн |
|
Циклическая частота затухающих колебаний: |
||||
|
|
|
|
|
ω = ω02 −δ2 . |
|
R-? |
|
|
|
|||
Условие стремления |
|
к нулю выполняется при ω0 = δ. |
|
|||
|
|
|||||
Собственная частота колебательного контура: |
|
|
|
|||
|
|
|
ω = |
1 . |
|
|
|
|
|
0 |
LC |
|
|
|
|
|
|
|
||
Коэффициент затухания: |
|
|
|
|
||
|
|
|
δ = |
R |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2L |
|
|
Подставляем формулы для ω0 и δ в равенство ω0 = δ и выражаем R: |
||||||
|
1 |
= R ; R = 2L = 2 |
L . |
|||
|
|
LC |
2L |
|
LC |
C |
Подставляя численные значения, получаем: R=100 Ом.
Ответ: R=100 Ом.
Пример №8. Гиря массой m=0,5 кг, подвешенная на спиральной пружине жёсткостью k=50 Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r=0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = 0,1cosωt , Н.
Определите для данной колебательной системы: 1) коэффициент затухания δ ; 2) резонансную амплитуду Aрез .
Дано: m=0,5 кг k=50 Н/м r=0,5 кг/с
F = 0,1cosωt , Н
1) δ -? 2) Aрез -?
Решение:
Второй закон Ньютона для данной системы:
mx = −kx − rx + F0 cosωt .
После преобразования получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
19