Занятие №31. Дифракция света
Основные формулы
Радиус внешней границы m-й зоны Френеля для сферической волны.
rm = |
ab |
mλ, |
(1) |
|
a + b |
|
|
где m – номер зоны Френеля; λ - длина волны,
a и b – соответственно расстояния диафрагмы с круглым отверстием от точечного источника и от экрана, на котором дифракционная картина наблюдается.
Условия дифракционных максимумов и минимумов от одной щели, на которую свет падает нормально:
asinϕ = ±(2m +1) |
λ |
, |
(2) |
|
2 |
|
|
asinϕ = ±2m λ , |
|
|
(3) |
2 |
|
|
|
(m = 1,2,3, …), |
|
|
|
где a – ширина щели; ϕ – угол дифракции; m – порядок спектра; λ – длина волны.
Условия главных максимумов и дополнительных минимумов дифракционной решётки , на которую свет падает нормально:
dsinϕ = ±2m |
λ |
, (m = 0,1,2, …); |
(4) |
||||
2 |
|
||||||
dsinϕ = ±m′ |
λ |
( m′ = 1,2,3, …, кроме 0, N, 2N, …), |
(5) |
||||
N |
|||||||
где d – период дифракционной решётки; |
|
|
|
||||
N – число штрихов решётки. |
|
|
|
||||
Период дифракционной решётки: |
|
|
|
||||
|
|
d = |
|
1 |
, |
(7) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
N0 |
|
|
где N0 - число щелей , приходящихся на единицу длины решётки. |
|
||||||
Условие дифракционных максимумов от пространственной решётки (формула Вульфа- |
|
||||||
Брэггов): |
|
|
|
||||
2dsinθ = mλ (m = 1,2,3, …), |
(8) |
||||||
где d – расстояние между атомными плоскостями кристалла; θ - угол скольжения.
Наименьшие угловое расстояние между двумя светлыми точками, при котором изображения этих точек могут быть разрешены в фокальной плоскости объектива:
11
ϕ ≥1,22 λ |
D |
, |
(9) |
|
|
|
где D – диаметр объектива; λ - длина волны света.
Разрешающая способность дифракционной решётки:
R = |
λ |
= mN, |
(10) |
|
δλ |
||||
|
|
|
где λ, (λ + δλ) – длины волн двух соседних спектральных линий, разрешаемых решеткой;
m – порядок спектра;
N – общие число штрихов решётки.
Примеры решения задач
Пример №1. Точечный источник света (L=0,5 мкм) расположен на расстоянии а=1 м перед диафрагмой с круглым отверстием диаметра d=2 мм. Определите расстояние b от диафрагмы до точки наблюдения, если отверстие открывает 3 зоны Френеля.
Дано:
λ = 0,5 мкм =5 10−7 м a=1м
d=2мм= 2 10−3 м m=3
b-?
Решение:
Рассмотрим треугольник SCA, его сторону AC можно легко найти по теореме Пифагора, она же является радиусом отверстия:
r2 = a 2 − (a − x)2 ,
r – радиус отверстия, a – расстояние между диафрагмой и отверстием, x – высота сферического сегмента.
С другой стороны, AC можно найти из треугольника ACM:
r |
2 |
|
λ |
2 |
2 |
, |
|
= b + m |
|
− (b + x) |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
b + m λ2 - расстояние от зоны Френеля до точки M.
Учитывая, что
λ<<a, λ - длина волны, a – расстояние от источника света до отверстия,
λ<< b, b – расстояние от отверстия до точки наблюдения.
Можно выразить высоту сферического элемента
12
x = bmλ , 2(a + b)
r2 = |
|
ab |
mλ − |
|
b2 |
m2 λ2 , |
|
|
||||
|
a + b |
|
4(a + b)2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b2 |
|
m2 λ2 |
|
т.к. отверстие мало, то можно считать высоту сферического сегмента пре- |
|||||||
|
4(a + b)2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
небрежительно малой величиной, тогда квадрат радиусы отверстия равен |
|
|
||||||||||
r2 = |
|
ab |
mλ выразим расстояние до точки наблюдения, получаем b = |
ar2 |
, |
|||||||
|
a + b |
amλ − r2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
подставив в формулу диаметр получаем |
|
|
||||||||||
b = |
|
ad2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|||
4amλ − d2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b = |
1м (2 10−3 м)2 |
4 1м 5 10−7 м − (2 10−3 м)2 =2 м. |
Ответ: b=2 м.
Пример №2. Определите радиус третьей зоны Френеля для случая плоской волны. Расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения равно 1,5 м. Длина волны λ =0,6 мкм.
Дано: |
Решение: |
|
|
|
|
|
|
m=3 |
Расстояние от зоны Френеля до точки наблюдения M, можно найти |
||||||
b=1,5 м |
как гипотенузу треугольника AOM, где O – центр отверстия. |
||||||
λ =0,6 мкм = 6 10−7 м |
|
2 |
|
2 |
|
λ 2 |
|
|
r |
|
+ b |
|
= b + m |
|
, |
|
|
|
|
||||
r - ? |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
||
где λ- длина волны, m – номер зоны Френеля, r –расстояние от центра отверстия, до m-й зоны Френеля, b – расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения.
Выразим радиус зоны Френеля
r2 = bmλ + m2 λ2 . 4
λ << b Длина волны значительно меньше расстояние пройденного ей – необходимое условие дифракции волн.
13
m2 λ2 пренебрежимо мало, следовательно r = bmλ 4
r = 
1,5м 3 6 10−7 м =1,64 мм
Ответ: r=1,64 мм.
Пример №3. Зонная пластинка даёт изображение источника, удалённого от неё на 2 метра, на расстоянии 1 метра от своей поверхности. Где получится изображение источника, если его удалить в бесконечность?
Дано: |
Решение: |
|
|
|
|
a = 2 м |
Воспользуемся формулой из примера 1: |
|
|||
b = 1 м |
|
r2 |
= |
ab |
mλ. |
a1 =∞ |
|
a + b |
|||
|
m |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся формулой из примера 2: |
|
|||
b1 −? |
|
||||
|
r2 |
= mb |
λ. |
|
|
|
|
|
|||
|
m |
1 |
|
|
|
Приравняем и выразим b1
b1 = aab+ b ,
b1 =11мм+22мм =66,7 см.
Ответ: b1 =66,7 см.
Пример №4. На узкую щель шириной a = 0,05 м падает нормально монохроматический свет длиной волны λ = 694 нм. Определите направление света на вторую дифракционную полосу (по отношению к первоначальному направлению света).
Дано: |
|
Решение: |
|
||
a = 0,05 |
м = 5 10−5 м |
Запишем условие дифракционных минимумов. |
|||
λ = 694 |
нм = 6,94 10−7 м |
a sinφ = ±(2m +1) |
λ |
||
m = 2 |
|
2 , |
|||
|
|
где a – ширина щели, λ - длина волны, φ - угол, под которым падает |
|||
|
φ - ? |
||||
|
|
свет, m – номер дифракционного максимума. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
Выразим синус угла:
sinφ = (2m +1)λ , 2a
= 5 6,94 10−7 м
sinφ 2 5 10−5 м =0,0347,
φ= arcsin φ=2º.
Ответ: φ=2º.
Пример №5. На узкую щель падает нормально монохроматический свет. Его направление на четвёртую тёмную дифракционную полосу составляет 2º12´. Определите, сколько длин волн укладываются на ширину щели.
Дано: |
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
φ = 2º12´ |
Запишем формулу для максимумов дифракционной решётки |
|||||||
m = 4 |
|
|
|
|
|
|
a sinφ = ±mλ, (m=4). |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
- ? |
Выразим |
: |
|
|
|
|
|
λ |
λ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a |
= |
m |
, гдеφ= 2º12´=2,2º; |
|
|
|
|
|
λ |
sinφ |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
aλ = sin2,24 ° =104.
Ответ: aλ = 104.
Пример №6. На щель шириной a = 0,1 мм падает нормально монохроматический свет длиной волны λ = 0,5 мкм. Дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном параллельно щели. Определите расстояние l от щели до экрана, если ширина центрального дифракционного максимума b = 1 см.
15
Дано: |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
a = 0,1 мм = 10−4 м |
Запишем формулу для минимумов дифракционной решётки |
||||||||||
λ = 0,5 мкм = 5 10−7 м |
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|||
b =1 см = 10−2 м |
|
следовательно |
|
|
a sinφ = ±mλ, где m=1, sinφ = a |
, |
|||||
|
|
l - ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = arcsin |
λ |
=arcsin |
5 10−7 |
=0,286, |
|
||
|
|
|
|
a |
|
10−4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∆MOC прямоугольный, значит можно найти b |
|
|
|||||||||
b= 2 l tgφ, следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
||
|
|
|
|
|
l= |
|
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
2 tgφ |
|
|
||||
l= |
|
10−2 м |
=1м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
tg0,286 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: l = 1 м.
Пример №7. На дифракционную решётку нормально падает монохроматический свет длиной волны λ =600 нм. Определить наибольший порядок спектра, полученного с помощью этой решётки, если её постоянная d = 2 мкм.
Дано: |
|
|
|
Решение: |
λ =600 нм = 6 10−7 м |
|
Запишем формулу максимумов дифракционной решётки |
||
d = 2 мкм = 2 10 |
−6 |
м |
|
dsinφ = mλ, |
|
|
где d – период дифракционной решётки |
||
|
|
|
|
|
mmax −? |
|
|
|
|
m наибольшие будет |
|
при наибольшем значении sinφ. |
||
|
||||
Синус принимает значения: −1 ≤sinϕ ≤1, наибольшие значение 1. sinφmax =1
Порядок спектра примет вид:
m |
|
= |
d |
= |
2 10−6 |
=3,33. |
|
max |
λ |
6 10−7 |
|||||
|
|
|
|
Порядок спектра может принимать только целые значения, поэтому mmax =3.
Ответ: mmax =3.
Пример №8. На дифракционную решётку длиной l=15 мм, содержащую N= 3000 штрихов, падает нормально монохроматический свет длиной волны λ = 550 нм. Определите 1) Число максимумов, наблюдаемых в спектре дифракционной решётки. 2). Угол, соответствующий последнему максимуму.
16
Дано: |
Решение: |
|
|
|
|
||
l= 15 мм=1.5 10−2 м |
Запишем формулу максимумов дифракционной решётки |
||||||
N= с |
|
|
|
|
|
|
dsinφ = ±mλ (m=0,1,2,….), |
λ = 550 нм= 5,5 10−7 м |
d = |
l |
- период дифракционной решётки, |
||||
|
|
||||||
1)n -? |
|
N |
|
|
|
|
|
2) φmax − ? |
N – число штрихов |
||||||
|
|
m |
max |
= |
d |
, когда sin φ =1, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
λ |
||
Подставим период дифракционной решётки
mmax = N1λ .
Общие число максимумов в 2 раза больше числа порядков т.к. максимумы располагаются по обе стороны от центра дифракционной картины.
n = 2m |
|
= |
2l |
= |
2 1.5 10−2 |
=18 |
|
max |
Nλ |
3000 5,5 10−7 |
|||||
|
|
|
|
Запишем формулу наибольшего максимума dsinφmax = mλmax , следовательно
sinφmax = mmaxd λ = mmaxl λN ,
Найдём угол φmax = arcsin mmax λN l
φmax |
= arcsin |
9 5,5 10−7 м 3000 |
=81º54´. |
|
1.5 10−2 м |
||||
|
|
|
Ответ: 1) n=18; 2) φmax =81º54´.
Пример №9. Определите число штрихов на 1 мм дифракционной решётки, если углу φ=30º
соответствует максимум 4-го порядка для монохроматического света с длиной волны
λ = 0,5 мкм.
Дано: |
Решение: |
||||
φ=30º |
Запишем формулу максимума дифракционной решётки |
||||
m=4 |
|
|
|
|
dsinφ = ±mλ, |
λ = 0,5 мкм = 5 10−7 м |
где m = 4 (порядок спектра). |
||||
|
Выразим период решётки: |
||||
n-? |
|||||
|
d= |
mλ |
, |
||
|
|
|
|
||
|
|
sinφ |
|||
с другой стороны |
|
|
|
|
|
|
d = |
1 |
. |
||
|
|
||||
|
|
|
N |
||
Число штрихов на 1 мм равно общему числу штрихов, на длину дифракционной решётки.
17