2.3.1. Метод Неймана

Для моделирования СВ, возможные значения которых не выходят запределы некоторого ограниченного интервала (a, b), а также СВ, законраспределения которых можно аппроксимировать усеченными, достаточноуниверсальным является метод Неймана, состоящий в следующем.

С помощью датчика равномерно распределённых в интервале (0, 1) случайных чисел независимо выбираются пары чиселИз нихформируются преобразованные пары

где (a, b) - интервал возможных значений СВy с заданной ПРВ w(y); -максимальное значение ПРВw(y). В качестве реализации СВ берется числоиз тех пар (), для которых выполняется неравенство .

Пары, не удовлетворяющие этому неравенству, отбрасываются. Можнолегко убедиться в справедливости такого метода моделирования СВ.Действительно, пары случайных чисел(),можно рассматривать каккоординаты случайных точек плоскости, равномерно распределенных вдольосей y и w(y) внутри прямоугольника aa'b'b(рис. 2).

Рис. 2.2. Усеченная кривая плотности вероятности

Пары(), удовлетворяющие условию неравенства, представляютсобой координатыслучайных точек плоскости, равномерно распределенныхвдоль осей y и w( y) внутри тойчасти прямоугольника aa'b'b, котораярасположена под кривой w( y). Вероятность того, чтослучайная точкаплоскости, находящаяся под кривой w( y), окажется в элементарной полосес основанием ( y, y + Δy) пропорциональна w( y), а вероятность попаданияточки под кривую w( y) по условию равна единице, что и требуется.

3.2. Метод кусочной аппроксимации

Существуют различные приближенные приемы моделирования СВ:численноерешение уравнения x = F (y) относительно y при использованииметода нелинейного преобразования, обратного функции распределения;замена непрерывных распределений соответствующими дискретнымираспределениями, для которых можно указать достаточно простыемоделирующие алгоритмы и другие приёмы. Среди них универсальным инаиболее простым является метод кусочной аппроксимации.

Сущность этого метода состоит в следующем. Пусть требуется получитьСВy с функцией плотности w( y). Предположим, что область возможныхзначений СВy ограничена интервалом (a, b) (неограниченное распределениеможно приближенно заменить ограниченным). Разобьем интервал (a, b) на nдостаточно малых интервалов (^a_m^,a_m+1)^,

^{m=0,...,n−1,a}₀ ^=a,a_n^=b, так, чтобы распределение заданной СВ в пределах этих интервалов можно былодовольно точно аппроксимировать каким-нибудь простым распределением(рис. 3), например, равномерным, трапецеидальным и т. д. В дальнейшем

рассмотрим кусочную аппроксимацию равномерным распределением.

Пусть ^P_m - вероятность попадания СВy в каждый из интервалов ^(am,am+1). Получатьреализации величины y с кусочно-равномерным распределением можно, очевидно, в соответствии со следующей схемой преобразования случайных чисел: 1) случайным образом с вероятностью ^P_mвыбирается интервал ^(am,am+1); 2) формируется реализация СВ,равномерно распределенной в интервале; 3) искомаяреализацияполучается по формуле

Случайный выбор интервала ₍^a_m^,a_m+1) с вероятностью ^P_mозначает, по существу, моделирование дискретной СВ, принимающей n значений ^a_m, m = 0, . . . , n −1, ^x₀ ⁼⁰, ^x_n ⁼, с вероятностью ^P_mкаждое, что можно сделать достаточно просто. Интервал (0, 1) разбивается на n интервалов (^x_m^,x_m+1), m = 0, . . . , n −1, ^x₀ ⁼⁰, ^x_n ⁼¹, длиной (^x_m+1^−x_m)^=P_mкаждый. Из датчика случайных, равномерно распределенных в интервале (0, 1) чисел выбирается некоторая реализация . Путем последовательного сравненияс^x_mопределяется тот интервал ₍^x_m^,x_m+1), в котором находится .

B основу этого процесса положен очевидный факт: вероятность попаданияравномерно распределенной в интервале (0, 1) СВ в некоторый подынтервал(^x_m^,x_m+1)равна длине этого подынтервала. Рассмотренный выше процесспредставляет интерес не только как составной элемент метода кусочнойаппроксимации, он широко используется в качестве алгоритма длямоделирования дискретных СВ и случайных событий.

Для моделирования СВ методом кусочной аппроксимации наиболее удобно при машиннойреализации выбирать вероятности попадания во все интервалы ^(a_m^,a_m+1⁾одинаковыми ^P_m^{=1/n,ачислоnтаким,чтоn=2N,гдеN}- целое число, меньше или равное количествудвоичных разрядов чисел,вырабатываемых датчиком случайных чисел. В этом случае величины a_mдолжны быть выбраны таким образом, чтобы выполнялось равенство

При равенстве вероятностей ^P_m для случайного выбора индекса m можноиспользовать первые N разрядов числа, извлекаемого из датчика равномернораспределенных случайных чисел.

Используя рассмотренный прием, приходим к следующему способупреобразования равномерно распределенных случайных чисел в случайныечисла с заданным законом распределения. Из датчика равномернораспределенных в интервале (0, 1) случайных чисел извлекается парареализаций Первыеразрядов числаиспользуются длянахождения адресов ячеек, в которых хранятся величины^a_m^,a_m+1, a затем поформуле получается реализацияСВy с заданнымзаконом распределения. Такой алгоритм является довольно экономичным поколичеству требуемых операций, которое не зависит от числа n , т. е. не зависитот точностикусочной аппроксимации. Однако с увеличением точностиаппроксимации возрастает количество ячеек памяти, требуемое для хранениявеличин ^a_m, m = 0,… , n , что является недостатком рассмотренного метода прибольших значениях n .