22. Структурные средние величины

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

где:

•  — значение моды

•  — нижняя граница модального интервала

•  — величина интервала

•  — частота модального интервала

•  — частота интервала, предшествующего модальному

•  — частота интервала, следующего за модальным

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот  , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее.

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

где:

•  — искомая медиана

•  — нижняя граница интервала, который содержит медиану

•  — величина интервала

•  — сумма частот или число членов ряда

•  - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному

•  — частота медианного интервала

Квартиль (Q)–значение признака, которое делит исходную совокупность на 4 равные по числу единиц части. Дециль (D)–значение признака, который делит исходную совокупность на 10 равных частей.

 ;

23. Понятие вариации. Средние показатели вариации

Вариация–изменение индивидуального значения признака в пределах изучаемой совокупности

Абсолютные показатели вариации включают:

Размах вариации — это разность между максимальным и минимальным значениями признака

Он показывает пределы, в которых изменяется величина признака в изучаемой совокупности.

Среднее линейное отклонение — этосредняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от средней.

Простое и взвешенное(для сгруппированных данных)

Среднее квадратическое отклонение

Наиболее совершенной характеристикой вариации является среднее квадратическое отклонение, которое называют стандартом (или стандартным отклонение). 

Простое и взвешенное

Между средним квадратическим и средним линейным отклонениями в условиях нормального распределения имеет место следующее соотношение: ~ 1,25.

Дисперсия - представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

Дисперсия простая и взвешенная

Более удобно вычислять дисперсию по формуле:

которая получается из основной путем несложных преобразований. В этом случае средний квадрат отклонений равен средней из квадратов значений признака минус квадрат средней. Среднее квартильное(квантильное) расстояние:

Вариация альтернативного признака заключается в наличии или отсутствии изучаемого свойства у единиц совокупности. Долю единиц, обладающих изучаемым признаком, обозначают буквой , а долю единиц, не обладающих этим признаком — через. Учитывая, что p + q = 1 (отсюда q = 1 — p), а среднее значение альтернативного признака равно

,-средний квадрат отклонений