8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точке.

Касательная плоскость к поверхности в её точке M₀(точка касания) есть плоскость, проходящая через M₀ и содержащая в себе все касательные, проведённые в точке M₀ ко всевозможным кривым, проведённым на поверхности через точку M₀.

Нормалью к поверхности в точке M₀ называется прямая, проходящая через точку M₀ и перпендикулярная к касательной плоскости, проведённой в этой точке.

Если уравнение поверхности имеет вид F(x, y, z)=0, то уравнение касательной плоскости в точке M₀(x₀,y₀,z₀), имеет вид:

Уравнение нормали к этой поверхности в точке M₀ есть

В случае явного задания поверхности уравнением примут вид

9. Скалярное поле, производная по направлению, градиент, их свойства.

Скалярным полем называется часть пространства (или все пространство), каждой точке M которой соответствует численное значение некоторой скалярной величины u. Скалярная величина u не зависит от времени, а зависит только от положения точки M в пространстве, это значит, рассматривается как функция точки M : u = f(M ) . Эта функция называется функцией поля. Если в пространстве выбрана система координат Oxyz, то скалярная величина u является функцией координат x, y , z, т.е. u = f(M)= f(x, y,z)

Наоборот, каждая функция трех переменных u = f(x, y,z) задает некоторое скалярное поле.

Геометрическим изображением скалярного поля являются поверхности уровня.

Пусть в некоторой области D задана функция u=u(x,y,z)   и точка M(x,y,z)  . Проведем из точки M вектор , направляющие косинусы которого cos α, cos β, cos γ . На векторе , на расстоянии  от его начала рассмотрим точку , т.е. .

. Пусть в каждой точке некоторой области D задана функция u=u(x,y,z)   . Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции u=u(x,y,z)   и обозначается grad u или ⍢u : .

При этом говорят, что в области D определено векторное поле градиентов.

Для нахождения градиента функции u=u(x,y,z)  в заданной точке M₀(x₀,y₀,z₀)  используют формулу: .

 

10. Первообразная. Неопределенный интеграл: его свойства, геометрический смысл.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство F’(x)=f(x) для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство (F(x)+C)’=f(x) . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение f(x)dx называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых линий y=F(x)+C. График каждой первообразной называется интегральной кривой.

11. Таблица основных интегралов.

12. Основные методы интегрирования: подведение функции под знак дифференциала, интегрирование методом разложения, интегрирование методом замены переменной (непосредственное, подстановкой), интегрирование по частям.

Метод подведения под знак дифференциала основан на равенстве .

То есть, главной задачей является приведение подынтегральной функции к виду f(g(x))d(g(x)).

Пусть требуется найти неопределенный интеграл ∫f(x)dx   . Предположим, что существуют дифференцируемые функции  и  такие, что

Тогда

Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Тогда, если ∫f(x)dx=F(x)+c  и , то имеет место следующее равенство: ∫f(u)du=F(u)+C

Рассмотрим функции u=u(x) и v=v(x), которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство: d(uv)=udv+vdu

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

Полученное равенство перепишем в виде: ∫udv=uv-∫vdu

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл ∫udv  можно свести к нахождению интеграла ∫vdu   , который может быть более простым.

Замена переменной.

Пусть требуется найти неопределенный интеграл  . Сделаем замену в подынтегральном выражении, положив x=φ(t), где φ(t) — монотонная непрерывная функция, которая имеет непрерывную производную. Тогда dx= φ’(t)dt. В этом случае имеет следующее равенство: