- •Саратовский государственный технический университет им. Гагарина ю.А. Методы математической физики
- •Методические рекомендации по проведению практических занятий
- •Уравнения математической физики
- •1. Волновое уравнение
- •1.1. Вывод уравнения колебания струны
- •1.2. Краевые условия
- •1.3. Метод разделения переменных
- •1.4. Реализация граничных условий Собственные значения и собственные функции
- •1.5. Реализация начальных условий
- •1.6. Уравнение колебаний мембраны и его решение
- •2. Уравнение теплопроводности
- •2.1. Уравнение распространения тепла в стержне
- •2.2. Постановка краевых задач
- •2.3. Приведение задачи к однородным граничным условиям
- •2.4. Решение краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье
- •Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей
- •2.6. Понятие пространственной задачи теплопроводности
- •Уравнение лапласа
- •3.1. Стационарное температурное поле
- •3.2. Потенциальное течение жидкости
- •3.3. Уравнение Лапласа в полярных координатах
- •3.4. Решение краевых задач методом разделения переменных
- •Решение задачи Дирихле методом конечных разностей
Уравнение лапласа
К уравнениям эллиптического типа приводит изучение стационарных, т. е. не изменяющихся во времени, процессов различной физической природы. Сюда относятся стационарные электрические и магнитные процессы, потенциальное движение несжимаемой жидкости, стационарные тепловые процессы, собственные колебания стержней, мембран и т. д. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа: .
Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоничес-кими. В каждой конкретной задаче, приводящей к уравнению Лапласа, искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций определенным дополнительным условием, которое называетсякраевымилиграничным. В отличие от волнового уравнения и уравнения теплопроводности задачи для эллиптических уравнений характеризуются отсутствием начальных условий. Краевые (граничные) условия задаются на границеГ области, в которой ищется решение дифференциального уравнения.
Задача здесь формулируется следующим образом. Требуется найти функцию , удовлетворяющую в некоторой области уравнению Лапласа, а на границе областиГ граничному условию, которое может быть взято в одном из следующих видов:
- наГ (задача Дирихле);
- наГ (задача Неймана).
Здесь ,- заданные функции, - производная по внешней нормали
к границе Г. Если решение ищется в области внутренней (внешней) по отношению к границеГ, то соответствующая задача называетсявнутренней(внешней) краевой задачей.
3.1. Стационарное температурное поле
При изучении уравнения теплопроводности было установлено, что температура нестационарного теплового поля удовлетворяет уравнению
.
Если процесс стационарен, то и, таким образом, устанавливается распределение температуры, удовлетворяющее уравнению Лапласа.
Если требуется получить распределение температуры в некоторой области, ограниченной поверхностью Г, то к этому уравнению следует присоединить граничные условия:
- наГ (заданное распределение температуры на границе);
- наГ (заданный тепловой поток через границу).
3.2. Потенциальное течение жидкости
Рассмотрим движение идеальной жидкости, характеризующееся скоростью. Выделим в жидкости некоторую неподвижную замкнутую поверхностьпроизвольной формы (рис. 5) и рассмотрим массу жидкости, вытекающей за единицу времени из замкнутой поверхности.
Эта масса выражается поверхностным интегралом , где- плотность жидкости,- нормальная составляющая скорости. Истечение жидкости из замкнутой поверхностиповлечет за собой уменьшение плотности в точках внутриза единицу времени на величинуи соответствующее изменение массы жидкости внутри поверхности, равное, где- пространство, ограниченное поверхностью.
Рис. 5
Поскольку масса сохраняется, то
=,
преобразуя поверхностный интеграл по формуле Остроградского, получим
.
Теперь
или
.
Вследствие произвольности объема приходим к уравнению
,
которое называется уравнением неразрывности.
Если жидкость несжимаема () и движение стационарно, то уравнение неразрывности принимает вид
. 44)
Предположим, что движение жидкости потенциальное. Это значит, что скорость является градиентом некоторой функции
, 45)
называемой потенциаломскорости. Равенство 45) равносильно следующим трем,,. Таким образом, приходим к уравнению Лапласа.
Если жидкость обтекает границу Г, представляющую собой твердую непроницаемую стенку, то нормальная составляющая скорости равна нулю, что приводит к граничному условиюнаГ.
К уравнению Лапласа сводятся также многочисленные задачи теории упругости, электростатики, магнитостатики и др.