Министерство образования Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
Специальные разделы теории колебаний
Методические указания и задания для решения задач
Для студентов специальности 291100
Саратов 2008
Задание 1
Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы
без учета сопротивлений в среде MATLAB.
Рис. 1
1.1. Построить графики свободных колебаний при заданных в таблице 1 значениях параметров.
1.2. Построить графики вынужденных колебаний, реализуя известное из теоретического курса аналитическое решение и используя функцию dsolveинструментарияSymbolicToolbox.
1.3. На основе решений, полученных в предыдущем пункте, провести исследование режима биений и резонансного режима. Визуализировать результаты.
Методические указания
В связи с тем, что в ряде случаев первое практическое занятие предшествует соответствующему лекционному, указания по этому занятию приведем подробно.
Как известно, рассматриваемое уравнение колебаний механической системы с одной степенью свободы имеет вид:
,
(1)
где y- искомая
координата,
,M,δ, c
-собственная частота колебаний,
приведенная масса, податливость и
жесткость системы соответственно,P(t)-
действующая на систему (в случае
вынужденных колебаний) возмущающая
сила.
Можно, например, представлять себе эту систему как невесомую двухопорную балку, несущую массу M в середине пролетаl (puc.1). Предполагается, что прогиб под массойy(t) отсчитывается от положения равновесия, соответствующего статической деформацииуст от веса. Функцияy(t)и является искомой обобщенной координатой, определяемой из уравнения (1).
В случае стандартного вида начальных условий
при t=0:
y=y0
,
(2)
Решение уравнения (1) имеет вид:
,
(3)
если вынуждающая сила – пульсирующая сила частоты ω
. (4)
При записи (3) исключен из рассмотрения
резонансный случай
.
Целью задания 1.1 является визуализация этого решения в случае P(t)=0при заданных значениях параметров (определяются по таблице, приведенной в конце методички, по номеру варианта). Приведем здесь возможные решения, полагая для определенностиy0=1,v0=2,θ=3.
В строке CommandWindow, содержащей приглашение (>>) набираем следующие строки с командами, завершая каждую из них нажатиемEnter:
>>y0=1;
>>v0=2;
>>theta=3;
>>t=0:0.01*pi:2*pi;
>>
;
>>plot(t,y)
Второй вариант решения основан на применении функции fplot. Его также необходимо реализовать, поскольку при этом мы знакомимся с методикой создания и использования так называемыхm-файлов. С этой целью набираем в редакторе и сохраняем в файле с расширением .m следующие операторы:
function y=fun(t)
% задание 1.1
y0=1;
v0=2;
theta=3;
;
После сохранения (save) вcurrent directoryпоявится файл fun m.
Можно убедиться, что написанная нами
функция доступна, как и встроенные
(например,sin(t)илиcos(t))
y=fun(t); plot(t,y)
Получающийся при этом график функции должен быть аналогичен построенному ранее с помощью команды plot. Теперь, однако, есть и такая возможность:
>>fplot(@fun, [0 2*pi])
Еще одну возможность открывает применение функции dsolveиз инструментария математикиSymbolic Toolboxсистемы MATLAB.
>>
y=
>>subs(y,{
},{1,2,3})
ans=
>>ezplot(char(ans))
Полученных знаний должно хватить для выполнения задания 1.2. В нем для дополнительно выбранных из таблицы значений P, Mи ω=20 визуализируется решение (3) с помощью функцийplotи fplot. Затем это решение получается с помощьюdsolveи визуализируется с помощью ezplot, аналогично тому, как это было выше проделано для случая свободных колебаний.
Задание 1.3 является первым самостоятельным исследованием с помощью MATLAB. Как следует из теории, при стремлении частоты возмущающей силы ω к частоте собственных колебаний системыtheta, сначала возникает явление, называемое биениями, а затем приω=thetaрезонанс. Последнее уже не описывается решением (3) и должно быть получено самостоятельно с помощью функцииdsolve. В данном задании начальные условия допустимо считать однородными. Частота собственных колебанийthetaкак и раньше выбирается из таблицы, а частоту ω возмущающей силы следует варьировать вблизиtheta.
Для документирования выполненных заданий следует оформить соответствующий script-файлcназваниемTask1.
Задание 2
Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы при наличии сил сопротивлений в среде MATLAB.
2.1. С помощью инструментария символьной математики (Symbolic Toolbox)построить аналитическое решение, описывающее свободные колебания системы при наличии вязкого трения.
2.2. Численно проинтегрировать уравнение свободных колебаний механической системы при наличии вязкого трения.
2.3. Численно проинтегрировать уравнение свободных колебаний механической системы при наличии сухого трения и комбинации вязкого и сухого трения.