4. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Кинематика – раздел механики капельных жидкостей, в котором рассматриваются виды и формы движения жидкости без выяснения природы и сил, вызывающих это движение. По образному выражению Н. Е. Жуковского, кинематика – это «геометрия движения». В кинематике используется свойство, общее для всякой сплошной среды, – непрерывность распределения параметров движения в пространстве и дифференцируемость их в пространстве и времени. Способы задания движения в кинематике жидкости (газов) отличаются от известных способов в кинематике отдельной материальной точки или системы точек. При движении свободного жидкого объема (в отличие от твердого тела) в его разных точках скорости частиц жидкости различны и объем деформируется. Движение жидкости будет определенным тогда, когда известны перемещения всех ее элементов.

4.1. Понятиеполяфизическойвеличины

Чтобы описать движение жидкости, необходимо задаться определенными свойствами ее в каждой точке (скоростью, давлением, плотностью и др.). Непрерывность распределения характеристик в сплошной среде приводит к понятию поля физической величины, под которым понимают часть пространства, в каждой точке которого физическая величина определена однозначно.

Если поле физической величины не зависит от времени, его называют стационарным, или установившимся. Поле физической величины нестационарно, если его параметры зависят от времени. Однако понятие стационарности (нестационарности) поля относительно.

В зависимости от скорости и направления движения наблюдателя относительно исследуемой системы «жидкость – тело» картина одного и того же течения существенно изменяется. Если наблюдатель неподвижен по отношению к телу, например находится на корабле, движущемся поступательно, прямолинейно и равномерно, он видит картину линий тока относительного движения воды (рис. 4.1). Поле скоростей, возникающее при этом, стационарно, если движение относить к координатной системе, связанной с кораблем. Если же наблюдатель неподвижен относительно жидкости, например находится на берегу, то движущимся элементом в системе координат, связанной с берегом, становится и корабль, и вода. В этом случае наблюдатель видит картину линий тока абсолютного движения жидкости (рис. 4.2).

Линия тока – линия, в каждой точке которой в один и тот же момент времени вектор скорости частицы жидкости касателен к ней. При неизменных

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.1.Понятие поля физической величины

условиях обтекания твердого тела жидкостью абсолютные течения являются неустановившимися, а относительные установившимися, стационарными (их еще называют обращенными движениями). Следовательно, от выбора привязки системы координат зависит, каким будет представляться течение.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Поля могут быть скалярных, векторных и тензорных величин. Скалярное поле – поле скалярной величины, или множество

x1 , x2 , x3 , t .

Кскалярам в механике жидкости относятся плотность, давление, температура и др. Значения этих параметров в данной точке и при данных условиях не зависят от выбора системы координат, т. е. скалярные величины инвариантны относительно системы координат.

Сцелью наглядного представления о поле вводят понятие поверхностей уровня, т. е. таких геометрических мест (в данный момент времени), в которых физическая величина имеет одно и то же значение (изотермы, изобары, изопотенциальные поверхности и др.).

Уравнение поверхности уровня:

x1, x2 , x3 , t const C .

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.1.Понятие поля физической величины

«Расслоив» мысленно пространство поверхностями уровня (рис. 4.3), упростим рассмотрение поля. Условимся называть внешним пространством по отношению к данной поверхности уровня ту область, где константа С имеет большее значение. Нормаль, направленная в сторону возрастания функции (рис. 4.3), является главной, или внешней, нормалью, направление которой принимается за положительное.

Рис. 4.3

Интенсивность поля скалярной величины (функции) определяется ее градиентом grad . Градиент функции есть вектор, направленный по внешней

нормали к поверхности уровня и равный по величине производной от этой функции по внешней нормали:

grad ddn n ; ddn 0 .

Следовательно, несмотря на то что скаляры определяются одним вещественным значением, изменение их в пространстве характеризуется векторно, т. е. фиксируется направление изменения физической величины. Градиент функции по внешней нормали, по определению производной, есть величина всегда положительная.

Кроме того, grad , взятый по направлению главной нормали (рис. 4.3), есть максимальное значение производной от функции. Например, возьмем

произвольное направление S в поле (рис. 4.3) и вычислим производную от

производной.

С векторным полем связаны понятия линий и трубок тока. Проведем в данный момент времени замкнутый, себя не пересекающий контур. Через каждую точку этого контура можно провести линию тока. Совокупность ли-

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.1.Понятие поля физической величины

ний тока образует трубчатую поверхность – трубку тока, или векторную трубку (рис. 4.4).

В опытах по изучению движения тел в жидкости часто используют относительное (обращенное) движение, когда тело и связанная с ним система координат неподвижны. Набегающему потоку сообщают постоянные скорости, равные по величине и противоположные по направлению скорости тела.

Рис. 4.4 Рис. 4.5

К установкам, в которых используется принцип обращенного движения, относятся аэро- и гидродинамические трубы и гидролотки.

В кинематическом отношении движения абсолютное и обращенное не совпадают (см. рис. 4.5, где показаны скорости вблизи тела и далеко на бесконечности от него). Силы же, действующие в жидкости, одинаковы в обоих

равенстве сил в обоих случаях.

Течения жидкости могут быть также пространственными, плоскопараллельными и осесимметричными. Поле скоростей соответственно можно представить в следующем виде:

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.1.Понятие поля физической величины

V1,2,3 f x1, x2 , x3 для пространственного течения;

V1,2 f x1, x2 , V3 0 для плоскопараллельного течения, когда картина

течения в плоскостях, нормальных к некоторой оси (рис. 4.6), одинакова; V1,r f x, r, t , V0 0 в случае осесимметричного течения в цилиндри-

ческой системе координат, когда поле скоростей во всех плоскостях, проходящих через некоторую прямую (ось симметрии), одинаково (рис. 4.7).

В декартовой системе координат поле скоростей для осесимметричного случая определяется уже тремя пространственными координатами. Наибольшую сложность для изучения представляют пространственные течения как общий случай движения жидкой среды.

Рис. 4.6

Рис. 4.7

Трубка тока и струя это не одно и то же. Струя образована траекториями частиц движущейся жидкости. Трубка тока – совокупность линий тока.

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.1.Понятие поля физической величины

Ниже приведены примеры определения линий тока и траекторий по заданному полю скоростей.

Пример. Движение жидкости задано проекциями скоростей V1 ax2 , V2 ax1 , V3 0 , где а постоянная.

Исследуемое движение является плоским (V3 0 ) и установившимся, т. к. V1 и V2 от времени не зависят.

Запишем дифференциальные уравнения линий тока:

dx1 dx2 , V1 V2

или, подставляя значения V1 и V2 в последнее выражение, dx1 ax2 dx2 ax1 .

Разделив переменные, получим

x1dx1 x2dx2 0

и, интегрируя, найдем уравнение линий тока:

x12 x22 C ,

которое представляет собой семейство концентрических окружностей с центром в начале координат (рис. 4.8). Такое движение называется плоским вихрем. Траектории в данном случае совпадают с линиями тока. Направление движения жидкости определяется по косинусам углов между вектором

скорости и началом координат:

сos V x1 V1 /V x2 / x12 x22

,

сos V x2 V2 /V x1 / x12 x22

.

Рис. 4.8

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.2.Дваметодакинематическогоисследования теченияжидкости

Для глубокого и всестороннего исследования движения жидкости необходимо знать для каждого момента времени и каждой частицы жидкости ее местоположение в пространстве. В механике жидкости с этой целью используются два метода кинематики Лагранжа и Эйлера.

По методу Лагранжа изучается поведение отдельной частицы жидкости за время ее движения в пространстве. Пусть в начальный момент времени t0 выделенная жидкая частица характеризуется определенными тремя чис-

лами a, b, c, которые служат обозначением данной частицы жидкости при исследовании течения. Пусть в любой другой момент времени t координатами частицы в прямоугольной системе координат будут x1, x2, x3. Эти координаты являются функциями не только времени движения (начиная с t0 ), но и на-

чальных координат – тройки чисел a, b, c, обозначающих частицу, т. е.

Уравнения (4.1) и числа a, b, c и t называются соответственно уравнениями и переменными Лагранжа. Уравнениями (4.1), по сути, задаются траектории движения отдельных частиц жидкости. Для полной характеристики состояния движущейся жидкости необходимо знать распределение давления P и плотность . Уравнения движения, составленные по методу Лагранжа,

обычно трудно разрешимы.

Метод, предложенный Эйлером, проще и нашел более широкое применение на практике. Этот метод не учитывает индивидуальных траекторий отдельных частиц. Здесь достаточно знать скорость жидкости в каждой точке пространства и ее направление, т. е. знать поле скоростей, которое в общем случае может изменяться в пространстве и во времени:

Совокупность величин x1, x2, x3, t называют переменными Эйлера; движение среды, по Эйлеру, задается полем скоростей.

Основное различие методов Лагранжа и Эйлера заключается в выборе системы отсчета: по Лагранжу, система a, b, c связана с жидкостью; по Эйлеру, x1, x2, x3 это некоторая система координат, относительно которой протекает жидкость. Оба метода равноправны.

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.3.Основныекинематические элементыдвиженияжидкости

Как уже отмечалось, линия тока – это геометрическая линия, проходящая через различные точки пространства в данный момент времени так, что векторы скоростей находящихся там частиц будут касательными к этой линии. Линии тока можно непосредственно наблюдать или сфотографировать, если ввести в поток какой-либо краситель или прикрепить к поверхности обтекаемого тела (крыла и т. п.) шелковинки.

Траектория частицы – это линия, определяющая положение частицы в разные моменты времени.

Линия тока отличается от траектории тем, что указывает направление скоростей разных частиц в один и тот же момент времени. Имеется лишь один, но весьма важный случай, когда линии тока совпадают с траекториями.

Это случай установившегося движения V V t const . Каждая частица в

этом случае движется по линии тока, т. к. в любой точке на своем пути она имеет скорость, которую имели все частицы, проходившие через эту точку в другие моменты времени.

Предположим, что поле (совокупность точек пространства, занятого потоком) скоростей известно и нужно найти линию тока. Из определения линии тока следует, что вектор скорости направлен к ней по касательной. Выделим на ли-

нии тока (рис. 4.9) элемент ду- Рис. 4.9 ги dS с проекциями на декар-

товы оси координат dx1, dx2, dx3. Так как вектор скорости V

и вектор dS параллельны, то векторное произведение их равно нулю:

Запишем это равенство с помощью определителя третьего порядка:

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.3.Основные кинематические элементы движения жидкости

Определитель равен нулю, если элементы двух его строк равны или пропорциональны, отсюда

Полученная система представляет дифференциальные уравнения линий тока. Интегрируя ее, находят положение линий тока в данный момент времени.

Если в потоке жидкости наметить точку и выделить вокруг нее элементарную площадку d , ограниченную пространственным контуром K (рис. 4.10), то совокупность линий тока, проведенных через все точки элементарной площадки d , образует трубку тока, математический аналог элементарной струйки.

В случае установившегося движения элементарная струйка обладает следующими тремя свойствами:

так как линии тока при установившемся движении жидкости с течением времени не меняют своей формы, то и струйка тока является неизменной во времени;

так как боковая поверхность струйки образована линиями тока, вдоль которых одна за другой скользят частицы жидкости, то проникновение жидкости через боковую поверхность струйки невозможно. Элементарная струйка как бы заключена в жесткие, не изменяющиеся во времени, водонепроницаемые стенки, не имеющие толщины;

так как площадь поперечного сечения элементарной струйки считается бесконечно малой, то величину скорости и давления для всех точек данного

координат и времени. Следовательно, траектории и линии тока здесь не совпадают.

Интегрируя дифференциальное уравнение линий тока (4.5)

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.3.Основные кинематические элементы движения жидкости

dx1 / x1 t dx2 / x2 t

для фиксированного t , получим

x1 t x2 t C ,

т. е. линии тока в каждый момент времени представляют собой семейство гипербол (рис. 4.11).

Для определения траекторий необходимо проинтегрировать уравнения линий тока:

dx1 dt x1 t ; dx2 dt x2 t ,

или, в явном виде,

dx1 dt x1 t ; dx1 dt x1 t .

скорости частицы, называется вихрем и обозначается rot V 2 . Вихрь характеризует вращение частиц вокруг некоторой оси. Вращательное движение жидкости с наличием компонентов вихря называется вихревым. Вихревое движение может быть плоским и пространственным.

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.3.Основные кинематические элементы движения жидкости

Пример. Рассмотрим плоский вихрь (рис. 4.12), линии тока и траектории которого представляют собой концентрические окружности с центром в начале координат.

Можно также показать, что скорости, вызванные плоским вихрем, определяются из выражения

V , 2 r

где Г циркуляция; r расстояние от центра вихря,

r x12 x22 .

Скорость в центре вихря теоретически (r = 0) должна равняться бесконечности, что не согласуется с опытами для реальной жидкости. Поэтому делается допущение, что некоторая область вокруг центра вихря (ядро вихря) вращается как твердое тело, т. е. скорости в ядре пропорциональны радиусу.

Рис. 4.12

Если в данный момент времени можно провести геометрические линии, касательные к векторам угловых скоростей частиц, то эти линии будут называться вихревыми (рис. 4.13, а).

Дифференциальные уравнения вихревых линий по аналогии с уравнениями линий тока могут быть записаны в виде

dx1 dx2 dx3 , d 1 d 2 d 3

где dx1, dx2, dx3 проекции элементарного участка вихревой линии в декартовой системе координат; d 1, d 2, d 3 проекции угловой скорости.

Совокупность вихревых линий, проведенных через точки произвольного замкнутого контура, образует вихревую трубку (рис. 4.13, б). Объем жидкости, заключенный внутри вихревой трубки, называется вихревым шнуром, например, ядро вихря, все точки которого вращаются с постоянной угловой

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.3.Основные кинематические элементы движения жидкости

Рис. 4.13

скоростью. Остальная часть плоского вихря, находящаяся вне ядра, движется по круговым траекториям без поворота (вращения) частиц. Это можно показать на примере.

Пример. Определить угловые скорости вращения частиц в поле плоского вихря.

Проекции вектора угловой скорости вращения вокруг осей х1 и х2 равны нулю, т. к. V3 0 , а V1 и V2 не зависят от координаты x3 . Подставив зна-

чения

в формулу

получим = 0. Таким образом, понятия «вихрь» и «вращение частиц» неоднозначны и смешивать их нельзя.

В первом случае частицы движутся поступательно по траекториям – концентрическим окружностям, а во втором – вращаются относительно соответствующей (мгновенной) оси.

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.3.Основные кинематические элементы движения жидкости

Следовательно, при круговом движении может не быть вращения частиц и, наоборот, оно может иметь место при прямолинейном движении.

Влияние вихревой трубки на жидкость характеризуется ее интенсивно-

стью, т. е. потоком вектора вихря rotV через поперечное сечение вихревой трубки. Интенсивность i определяется по выражению

В случае если вихри непрерывно распределены по поверхности, они образуют вихревой слой. Идеализированный вихревой слой (толщина его стремится к нулю при неизменной интенсивности) называется вихревой пеленой.

B

V1dx1 V2dx2 V3dx3 . Для замкнутого контура циркуляции вектора

A

скорости определяются контурным интегралом

Пример. Вычислить циркуляцию скорости по контуру, соединяющему точки с координатами А(х1, 0) и В(0, х2) в потоке жидкости, который задан проекциями скорости

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.3.Основные кинематические элементы движения жидкости

где а некоторая константа.

В безвихревом потоке циркуляцию скорости выразим через потенциал скоростей, поскольку V1dx1 V2 dx 2 V3 dx3 d , т. е.

d K1 K2 ,

K

где K1 и K2 – значения потенциальной функции на концах рассматри-

ваемого контура.

Течение жидкости в данном случае является плоским, установившимся

и, т. к. V2 V1 (т. е. 3 = 0), потенциальным (безвихревым). При этом по-

x1 x2

тенциал φ можно определить по скорости потока

где r полярный радиус

точки (рис. 4.15). Угол находят из соотношения

сos VV2 axr22 ar xr2 .

Отсюда следует, что вектор

скорости V перпендикулярен полярному радиусу точки, т. е.

Vr 0,

VS V a 1 r S r S

Этому значению соответствует функция тока

a ln r .

Отсюда уравнение линий тока: a ln r C . Согласно этому уравне-

нию, такие линии представляют собой окружности r C с центрами в начале координат.

Найдем циркуляцию скорости:

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.3.Основные кинематические элементы движения жидкости

Если подсчитать величину этой циркуляции по любому замкнутому контуру, охватывающему начало координат, то окажется, что

d A1 A .

K

Отсюда следует, что a /2 . Физически этот случай, согласно теореме Стокса (см. ниже), соответствует наличию в особой точке r 0 вихревой

нити интенсивностью, равной циркуляции Г. При этом вне вихревой нити течение будет безвихревое.

4.4. Полеускорений

На основе функциональных связей (4.1) (4.2) можно получить общее выражение для полного ускорения жидкой частицы. Ускорение – это векторная производная по времени от скорости.

Известно, что ускорение перемещающейся фиксированной точки определяется пределом

тоду Лагранжа, выражается частной производной по времени

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.4.Поле ускорений

V V

t

(точка над буквой обозначает производную по времени). ПроизводнаяVt выражает изменение скорости в фиксированной точке пространства,

т. к., по Лагранжу, переменные а, b, c в каждой точке разные. Здесь же в конечном счете нужно знать, как изменяется скорость данной частицы жидкости.

В эйлеровых переменных вектор скорости представляет собой в общем случае вектор-функцию вектора-радиуса точек пространства и времени. Следовательно, индивидуальную производную

V ddtV

можно рассматривать как сложную функцию от времени t (нестационарное поле скоростей в явном виде) и через посредство координат х1, х2, х3 движущейся точки. Тогда

Спроецировав V на оси координат, имеем

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.4.Поле ускорений

Введя вектор – дифференциальный оператор

и перейдя от проекции к векторному выражению, получим формализованное выражение ускорения

Отсюда видно, что, по Эйлеру, ускорение можно разделить на две составляющие. Первое слагаемое Vt выражает изменение скорости со време-

нем в точке, т. е. при фиксированных координатах, называется локальным ускорением и характеризует нестационарность поля скоростей. Локальное ускорение равно нулю в любой момент времени, если поле скоростей стационарно (в этом случае траектории частиц жидкости совпадают с линиями тока) или когда в данной точке скорость достигает своего максимального (или минимального) значения.

Следует обратить внимание, что в эйлеровых переменных, даже когдаVt = 0, ускорение все же имеется. Примером может служить вода, текущая с

постоянной скоростью по кругу: ускорение есть и тогда, когда скорость в данной точке не изменяется. Причина в том, что скорость воды в данный момент в другой момент будет иметь другое направление – это центростремительное ускорение.

Второе слагаемое в правой части выражения (4.9) образуется за счет изменения координат точки, соответствующего перемещению (конвекции) ее в поле скоростей, и называется конвективным ускорением, которое характе-

ризует неоднородность поля. Конвективное ускорение Vконв 0 тогда и только тогда, когда поле скоростей однородно, т. е. скорости во всех точках рас-

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.5.Кинематический анализ движения жидкой частицы

А

Скорость относительной объемной деформации

V1 V2 V3 divV .

x1 x2 x3

Для несжимаемой жидкости

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.5.Кинематический анализ движения жидкой частицы

Таким образом, угловая скорость квазитвердого вращения

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.6.Движениежидкостивлокальномобъеме. ПерваякинематическаятеоремаКоши Гельмгольца

Из курса теоретической механики известно, что в общем случае движение твердого тела складывается из поступательного перемещения и вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через произвольно выбранный полюс. Движение элементарного объема жидкости сложнее, так как, двигаясь в сплошном потоке, он непрерывно деформируется.

Рассмотрим вначале квазитвердое движение жидкости, т. е. случай движения воды, если ее заморозить до стадии льда. Выделим в жидкости произвольный элементарный объем (рис. 4.21) и разложим движение на составляющие. Особенностью квазитвердого движения является одинаковость угловых скоростей всех точек тела независимо от выбора полюса и размеров тела.

Рассмотрим движение фиксированной точки O (полюса) твердого тела

вектор (рис. 4.21) есть угловая скорость в данный момент времени и пусть в этот же момент точка M имеет скорость V , а точка O скорость V0 . Тогда

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.6.Движение жидкости в локальном объеме. Первая кинематическая теорема Коши ( Гельмгольца

Скорость вращения Vвр точки M – это угловая скорость, умноженная на радиус вращения h (рис. 4.22):

Тогда поле скоростей в твердом теле в общем случае его движения определяет классическая формула Эйлера

Рассматривая твердое тело как сплошную среду с определенным полем скоростей, найдем выражение вектора угловой скорости через скорости этого

поля. Для этого запишем поле скоростей в проекциях и найдем через скорости отдельных точек. Проекции (4.20):

Так как угловая скорость для всех точек твердого тела одна и та же, т. е. = const, V есть линейная функция координат х1, х2, х3. Составим производные от проекции скорости (4.21):

4.КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.6.Движение жидкости в локальном объеме. Первая кинематическая теорема Коши ( Гельмгольца

Дифференциальную операцию rot называют пространственной производной в векторном поле и определяют проекциями, представляющими собой комбинацию частных производных, записанных в левой части равенств (4.22);

rot V называют ротором скорости, или вихрем. В рассматриваемом случае движения твердого тела формулы (4.22) можно записать в векторном виде

В общем случае деформируемой среды – жидкости понятие угловой скорости для целого объема становится бессмысленным, и рассматривать разложение движения жидкости можно только в малом, элементарном ее

объеме в окрестности данной точки M (в локальном объеме рис. 4.23). В случае локального объема поле скоростей в нем можно приближенно считать таким же, как в твердом теле.

Примем за полюс точку M0 и рассмотрим движение частицы (матери-