Лекции по математике. Теория вероятности

Решение

Исходами опыта являются все возможные размещения четырех карточек на трех местах (порядок расположения важен).

Общее число исходов:

Рассмотрим события и их вероятности:

Событие А={из трех карточек образовано число 123},

P A mn 241 .

Пример Пусть даны шесть цифр: 1;2;3;4;5;6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.

Решение

Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных

чисел будет m nk 63 216 . Если цифры не повторяются, то

mA63 6 5 4 120 .

Определение Перестановками из n элементов -

называются соединения, различающиеся только порядком входящих в них элементов.

Pn Ann n!

 Замечание Перестановки комбинации, отличающиеся порядком, но не составом входящих элементов.

Пример

Порядок выступления определяется жеребьевкой. 7 участников. Сколько вариантов возможно.

Решение

Каждый вариант жеребьевки отличается порядком участников конкурса, т.е. перестановка из 7 элементов.

P7 7! 5040

Пример

На четырех карточках написаны буквы О, Т, К, Р. Карточки перевернули и перемешали.

21

Затем открыли наугад последовательно эти карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «КРОТ»?

Решение

Исходы – все возможные перестановки из четырех элементов (О, Т, К, Р); общее число исходов:

n P 4! 24, m 1 ,

Событие А = {после открытия карточек получится слово

«КРОТ»}:

P A mn 241

Замечание В комбинаторике факториал натурального

называются соединения, различающиеся только своими элементами

Сочетания (выборки) из n по m различных элементов комбинации, отличающиеся лишь составом входящих элементов.

 Замечание Число различных сочетаний (выборок) из n по m элементов Cnm - число способов, которыми можно выбрать из n группу по m элементов (порядок выбора

22

 Замечание Числа Сnm называют так же биномиальными

коэффициентами по причине использования их в формуле разложения бинома Ньютона.

n

x y n Cnm xm yn m m 0

Пример

В ящике лежат 1 белый и три черных шара. Наугад вынимаются 2 шара.

Какова вероятность того, что вынуты:

1) 2 черных шара; 2) белый и черный шар?

Решение

Исходы – все возможные пары шаров. Общее число исходов

Термин «наудачу» означает, что появление любого набора из шаров равновозможно. Найти вероятность того, что будет выбрано k белых и n k чѐрных шаров.

Решение

C k C n k P A K N K

CNn

23

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга дает приближенное выражение

Джеймсом. Стирлингом.

Джеймс. Стирлинг(1692-1770) шотландский математик. Труды по теории рядов и исчислению конечных разностей, рассмотрел бесконечные произведения.

По определению полагают 0! 1.

Факториал определѐн только для целых неотрицательных чисел. Эта функция часто используется в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Формула Стирлинга

рассуждением (не выдавая его однако за строгое доказательство), но удобное для запоминания.

По определению факториал

n! 1 2 3 n

Заменим n! произведением такого ж количества одинаковых

сомножителей: n! x x x x xn ,где x - своего рода "среднее факториальное" первых n натуральных чисел. Оно разумеется растет вместе с n .

Сделаем простейшее предположение, что при больших n это среднее факториальное приблизительно пропорционально n :

x an ,

где a - почти постоянная величина.

Тогда n!~ n n

a

и характерное тождество для факториала

24

n 1 ! n 1 n !

среднее факториальное близко к ne .

Ясно, что формула Стирлинга приближенная и нужна поправка, учитывающая не постоянство a при малых n .

Поправка 2 n t n эта зависит от n , но далеко не так сильно как сам факториал, 2 n t n , величина t n заключена в

пределах 0 t n 121n .

25

Лекция 2

Геометрическая вероятность

Паскаль впервые употребил слово вероятность. Он был математик, философ, писатель, физик (1623-1662). В письме к Ферма он писал:

«Я буду пользоваться термином вероятность для

обозначения числа, обозначающего степень уверенности».

Одним из недостатков классического определения вероятности, ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания.

Этот недостаток преодолен в классическом геометрическом определении вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.д.)

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G . На фигуру G наудачу бросается точка.

Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайной точки. Фигуру g называют благоприятствующей событию A .

P A S g SG

Геометрическая вероятность имеет различное значение в зависимости от определения элементарных событий и от метода отбора в случайном порядке.

Имеется отрезок ОА. Разделим его пополам в точке В и найдем вероятность того, что точка отрезка ОА, выбранная в случайном порядке находится на ОВ.

Р длинаОВДлинаОА 12

на практике может быть меры длины, площади, объемы.

26

Область, на которую распространятся понятие геометрической вероятности, может быть одномерной (прямая, отрезок), двумерной и трехмерной.

Пример В некоторой ограниченной области случайно выбирается точка. Какова вероятность, что точка попадет в область А? На прямую L?

понятие геометрической вероятности, может быть одномерной (прямая, отрезок), двумерной и трехмерной.

Определение Геометрическая вероятность события A

-отношение меры области, благоприятствующей появлению

события A к мере всей области

mes g P A

mesG

Пример В квадрат со стороной 4см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?

Решение

Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1см. Площадь

закрашенной части квадрата

16см2 4см2 12см2 . Значит, P A 1216 34 0.75

Обобщением классического определения вероятности на случайный эксперимент с бесконечным числом равновозможных случайных исходов, изображаемых точками, прямой, плоскостью, пространством и т.д. служит геометрическое определение вероятности. Пример Два лица A и B условились

27

встретиться в определенном месте между 11 и 12 ч. и ждать друг друга 30 мин. Если партнер к этому времени не пришел или уже ушел встреча не состоится. Найти вероятность того, что встреча состоится.

Решение

Обозначим моменты прихода в определенное место лиц A и B - соответственно через x и y .

За начало отсчета возьмем 11 ч., а за единицу измерения 1 ч. По условию 0 x 1, 0 y 1. Это квадрат со стороной 1.

Событие C - встреча двух лиц произойдет, если разность между x и y не превзойдет 0.5 ч, т.е. y x 0.5 .

P C 1 2 1/ 2 0.52 0.75 12

( площадь области g равна площади квадрата G без суммы площадей двух угловых треугольников).

Статическая вероятность

Недостатком классического определения вероятности является то, что не всегда удается узнать, являются исходы испытания равновозможными или не являются. Число равновозможных исходов конечно. Результат испытаний не всегда можно представить в виде совокупности элементарных событий. Введем понятие статической вероятности.

Если производить многократно повторение одного и того же опыта, то относительное число появлений данного события во всей серии опытов, или частота его появления, будет близка к значению его вероятности. Оказывается, что при большом числе испытаний n, относительная частота появления события А в различных сериях отличается друг от друга мало и это отличие тем меньше, чем больше испытаний в сериях.

Пример

28

Выпадение герба. При небольшом количестве опытов относительное число появлений герба будет отличаться от 0.5, но если увеличить число до несколько десятков тысяч, то небольшие отклонения не могут оказать влияния на общий результат.

Такие опыты проводились Бюффоном (Франция), и Пирсоном (Англия), при этом получены следующие результаты.

Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, и при этом герб выпал в 2048 случаях.

Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна

40402048 0,50693

Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24000 раз, причем герб выпал 12012 раз.

Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

1201224000 0,5005

Расхождение с математической вероятностью в четвертом знаке после запятой. Это закон больших чисел.

 Определение Абсолютной частотой случайного события A в серии из N случайных опытов называется число N A , которое показывает, сколько раз в этой серии произошло

событие A .

 Определение Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов:

29

W A N A N

где A – случайное событие по отношению к некоторому испытанию, N - раз проведено испытание и при этом событие

A наступило в N A случаях.

Замечено, что будучи числом неотрицательным, относительная частота обладает определенной устойчивостью, то есть ее значение изменяясь, колеблется около некоторого неотрицательного числа, к которому она стремится при n→ ∞, (неограниченном возрастании числа испытаний).

 Определение При статистическом определении вероятностью события называют относительную частоту события при большом числе испытаний или число близкое к ней:

появления события в данных сериях испытаний.

Пример

Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Какова частота рождения мальчика в такой серии наблюдений?

Решение

W A 1000515 0.515

Пример

Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов равна 0,012. В скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появление близнецов?

Решение

Ответ в 120 случаях можно ожидать появление близнецов.

30