Лекции по математике. Теория вероятности

Лекция 6

Непрерывные случайные величины

В противоположность дискретной случайной величине совокупность возможных непрерывных значений случайной переменной не только неконечна, но и не поддается счислению.

 Определение Непрерывная случайная величина (НСВ) -

случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Пример Диаметр изготавливаемой детали на станке - непрерывная случайная величина, т.к. возможны отклонения изза возникающих погрешностей ввиду температурных

изменений, силы трения, неоднородности материала и т.д., а

c, d .

 Замечание Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно.

Функция распределения непрерывной случайной величины

Непрерывную случайную величину, так же как и ДСВ, можно задать с помощью функции распределения, которая равна вероятности того, что СВХ приняла значение меньшее заданного х. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения, а именно:

x

F (x) f (x)dx

где f (x) - функция плотности, F (x) .-функция распределения

или интегральный закон распределения.

Функция распределения непрерывной величины всюду непрерывна. По виду функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси.

91

Функция плотности непрерывной случайной величины

Законом распределения вероятностей непрерывной случайной величины – называют зависимость плотности от x .

В такой форме закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется

дифференциальным.

Определение Функция f (x) , называемая плотностью

распределения непрерывной случайной величины, определяется

по формуле:

f (x) F x ,

где F x - функция распределения.

 Замечание Смысл функции плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина X в некоторой окрестности точки x при повторении опытов.

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что вероятность попадания НСВХ в заданный интервал равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми x a графиком функции f (x)

который называется кривой распределения вероятностей.

Т.к. в результате опыта случайная величина обязательно примет какое - либо из возможных значений, то :

f (x)dx 1

или

b

f (x)dx 1

a

-условие нормировки плотности.

92

Свойства функции плотности распределения.

величин, множеством возможных значений которых является все множество действительных чисел).

93

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.

 Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточены на интервале [a, b], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала [a, b] f (x) 0 .

Пример Плотность распределения непрерывной случайной величины задана формулой

Найти:

а) значение константы C ;

б) вид функции распределения;

в)вероятность попадания в интервал p 1 x 1 .

Решение. а) значение константы С найдем из условия нормировки:

94

Найти плотность распределения.

Решение

Плотность распределения определяется по формуле: f (x) F x ,

где F x - данная функция распределения.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

 Определение Мода – числовая характеристика, определяющая наиболее вероятностное значение для непрерывной случайной величины, то значение, в котором плотность максимальна. Обозначается M 0 .

 Определение Медиана Me – числовая характеристика, для которой одинаково вероятно окажется ли случайная величина меньше или больше Me

P X Me P X Me

 Замечание Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам. В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.

95

абсолютно, т. е. существует.

 Определение Дисперсия непрерывной случайной величины X - числовая характеристика возможные значения

которой принадлежат отрезку a,b , вида:

D x x M x 2 f x dx

При вычислении дисперсии НСВХ также можно

пользоваться формулой

D x M x2 M x 2

 Определение Среднее квадратическое отклонение

числовая характеристика, равная корню квадратному из

дисперсии

x D x .

Свойства математического ожидания и дисперсии НСВХ аналогичны свойствам числовых характеристик ДСВХ.

Пример. НСВХ задана интегральной функцией

0; x 1;

F x 1 x 1 ; 1 x 3;

4 4

1; x 3

Найти вероятность того, что НСВХ примет значение из интервала(-2;2).

Решение:

96

Т.к. значения НСВХ распределены на интервале (-1;3) и левее данного интервала F(x)=0, то интервал (-2;2) заменим на

97

Решение

Все значения НСВХ распределены на интервале (0;6). На данном интервале графиком функции F x является парабола,

уравнение которой y kx2 . Найдем k , подставив в уравнение

Плотность распределения равна первой производной интегральной функции:

98

0, x 0;

F x 1 x, 0 x 6;

18

0, x 6.

Построим ее график:

Вычислим вероятность попадания НСВХ в интервал (-2;4).

Т.к. левее х=0 вероятность равна нулю, вычислим вероятность попадания в интервал (0;4):

P 0,4 361 16 1636 0.44

Найдем числовые характеристики:

D x M x2 M x 2 18 16 2 , x 2 1.41.

Вероятность попадания в интервал

b

P a X b f (x)dx F (b) F (a)

a

Если надо найти вероятность того, что случайная величина превысит заданное значение или меньше какого-то значения, то необходимо верхний предел положить или нижний

99

Контрольные вопросы

1.Сформулировать определение непрерывной случайной величины.

2.Что такое плотность распределения вероятностей?

3.Каким свойством обладает плотность распределения вероятностей?

4.Какими свойствами обладает функция распределения непрерывной случайной величины?

5.Как найти интегральную функцию, зная плотность распределения и наоборот?

6.Перечислить свойства интегральной функции.

7.Дать определения числовым характеристикам НСВХ.

8.В чем различие между дискретной и непрерывной случайными величинами?

9.Как можно задать случайные величины?

10.Чем можно охарактеризовать случайные величины?

11.В чем смысл математического ожидания случайной величины?

12.Что характеризует дисперсия случайной величины?

Задачи для самостоятельного решения

1.Плотность равномерного распределения сохраняет в интервале (а, b) постоянное значение, равное С; вне этого интервала f(x)=0. Найти значение постоянного параметра С.

2.Закон равномерного распределения задан плотностью вероятности f(x)=1/(b—а) в интервале (а, b); вне этого интервала f(x)=0. Найти функцию распределения F (х).

3.Найти математическое ожидание случайной величины X, равномерно распределенной в интервале (а, b).

4.Найти математическое ожидание случайной величины, X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

5.Найти дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (a, b).

6.Найти дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

100